La posibilidad de reducir la estructura de grupo de $U(n)$ $SU(n)$interpretación geométrica, pero no en términos de extra estructura del paquete, sino como una propiedad del paquete (que creo que es algo diferente).
Así que permítanme explicar esto en detalle. Deje $E \to X$ ser un complejo vectorbundle de rango $n$ $X$ ser un razonable espacio. Entonces sabemos $E$ es clasificado por algunos de mapa de $\varphi: X \to BU(n)$. La pregunta acerca de la reducción de la estructura del grupo, a continuación, significa que queremos encontrar un ascensor de $\varphi$$SU(n)$, es decir, queremos un ascensor (hasta homotopy) en el diagrama
$$\begin{array}
= & & BSU(n) \\
&& \downarrow \\
X & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & BU(n)
\end{array}.
$$
Ahora considere la fibra secuencia $$ SU(n) \to U(n) \stackrel{det}{\to} U(1),$$
esto implica que la aplicación de la clasificación de espacio functor de los rendimientos de un fibration
$$ BSU(n) \to BU(n) \stackrel{Bdet}{\to} BU(1).$$
Esto a su vez implica que el functor $\lbrack X, -\rbrack$ de homotopy clases de mapas de $X$ los rendimientos de una secuencia exacta de la forma
$$ \lbrack X, BSU(n) \rbrack \to \lbrack X, BU(n) \rbrack \to \lbrack X,BU(1) \rbrack $$
que nos dice que no puede levantar el mapa de $\varphi$ $BSU(n)$si y sólo si el mapa compuesto
$$X \stackrel{\varphi}{\to} BU(n) \stackrel{Bdet}{\to} BU(1) $$
es nullhomotopic. Pero aquí viene la interpretación geométrica en juego, a causa de los siguientes hechos:
Considerar el functor $det$ de Vectorbundles a (línea)bultos. Si $E$ es un vectorbundle $X$ de la fila $n$, a continuación, el paquete de $det(E)$ tiene como fibra, $x\in X$ $n$th potencia exterior $\Lambda^n(E_x)$. Por abstracto sin sentido (es decir, el Yoneda Lema) sabemos que este functor es representado por un mapa de $BU(n) \to BU(1)$ y resulta que este mapa es, precisamente,$Bdet$.
Esto nos indica que hay una reducción de la estructura del grupo de $E$ $SU(n)$si y sólo si el determinante de la línea de paquete de $det(E)$ es trivial.
Esto no debería ser demasiado sorprendente, ya que en términos de la transición de las funciones en locales como banalizaciones el determinante bundle $det(E)$ surge tomando la transición de las funciones de $E$ y la aplicación de detonante para ellos. Pero si queremos que estos transición de las funciones que tienen los valores en $SU(n)$, después de aplicar el detonante de todo transición de las funciones de convertirse en la multiplicación por $1$, por lo tanto $det(E)$ es trivial.
Pero déjame continuar sólo un paso más y dar una precisa statemet de cuando esta reducción es posible en términos de características de las clases.
Recordar que hay un isomorfismo $c_1: LineBundles(X) \to H^2(X,\mathbb{Z})$ el cual es dado por tomar la primera clase de chern de la línea de paquetes integral cohomology.
Por eso sabemos que la posibilidad de reducir la estructura de grupo de $E$ $SU(n)$se da si y sólo si $c_1(det(E)) = 0$. Pero también es un hecho que en la integral cohomology no es la ecuación de $c_1(E) = c_1(det(E))$ y reduciendo, por tanto, la estructura de grupo de $E$ $SU(n)$es posible si y sólo si $c_1(E) = 0$$H^2(X,\mathbb{Z})$, y la interpretación geométrica está dada por la trivialidad de la determinante de la línea de paquete de $det(E)$$E$.
