Déjame probar y agregar a Georges ya gran respuesta.
Permítanme que, tal vez, a riesgo de mi propia cuenta y riesgo, intentar resumir la idea básica en una frase:
Conjuntos de soluciones de $S$ de ecuaciones debe tener geometría intrínseca que nos informa de la naturaleza de $S$.
Ahora, mientras esto es hoy en día un lugar común de la ideología, permítanme señalar una pizca de sutileza en mi declaración anterior. Es decir, conjuntos de soluciones de qué tipo de polinomios, y las soluciones? Clásicamente uno podría interpretar esta frase como la taquigrafía para algo como:
Conjuntos de soluciones de $S$ lo suficientemente agradable ecuaciones de la realidad (compleja) de números geometría intrínseca que nos informa acerca de la $S$.
Ahora, esto es totalmente creíble. Si uno interpreta 'suficientemente bueno' correctamente, a continuación, estas soluciones de conjuntos de ser, es decir, real (complejo) colectores que, por supuesto, tienen estructura intrínseca, y sí, esta estructura nos dice algo acerca de la $S$.
Dicho esto, uno de los principios básicos de la teoría de números es que, a veces, es más interesante considerar las soluciones de ecuaciones no sobre el número real o complejo, pero sobre los objetos con mucho más rica aritmética de la teoría. Quizás esto significa que buscan soluciones a través de un 'no-geométrica de campo' como $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{F}_q$, o tal vez, incluso a través de un anillo como $\mathbb{Z}[i]$.
En segundo lugar, en la teoría de los números que estamos muchas veces interesados en los tipos de ecuaciones que no son lo suficientemente agradable. Este es un geométricas plazo y, aparentemente, la teoría de los números no es geométrica, de modo que tales requisitos parecer poco natural.
Por lo tanto, reevaluar mi primera declaración de uno, a continuación, puede empezar a balk-tales ecuaciones más generales anillos tienen ningún derecho a tener geométrica de la estructura. Donde es una estructura geométrica que viene? Ciertamente no de los anillos-el anillo de $\mathbb{Z}[i]$ no llevar suficientemente rica estructura geométrica para ser capaz de hablar acerca de la curva de la teoría. Lo que debe significar para considerar la cotangente del paquete de un conjunto de soluciones de una ecuación de más de $\mathbb{Z}[i]$? Lo que debe significar para tomar su singular cohomology? ¿Qué es un compacto de Lie del grupo de' más de $Z[i]$, y en caso de tener una teoría de la estructura?
La realización de algebraica de los geómetras (incluyendo Grothendieck) fue que las ecuaciones que ellos mismos habían geometría intrínseca. Entonces, cualquier geometría de las soluciones que se pone sobre algunos de los anillos son sólo derivado de la geometría de las ecuaciones subyacentes. Esto también lo hace con el temor de hacer de la geometría a través de algo ungeometric tales como, digamos, $\mathbb{F}_q$, ya que las ecuaciones mismos proporcionando la geometría.
O, pensó en una más Grothendieck-ian (como Dickensian?) manera, la geometría proviene de la colección de los conjuntos de soluciones de los polinomios sobre todos los anillos, y cómo estas series varían con la solución de anillo. Dicho de otra manera, si $X(R)$ denota el conjunto solución de los polinomios en la $S$ lo largo de un anillo de $R$, no es el conjunto $X(R)$ que tiene una geometría pero el functor de $X$ sí que lo hace.
Grothendieck y co.'s gran innovación fue darse cuenta de cómo hacer para que esta filosofía en suelo firme. Que uno necesita para copia de seguridad de un descarado declaración de que la ecuación $x^n+y^n=z^n$ ha geometría intrínseca, y una geometría suficientemente rico para ser capaz de decir algo interesante sobre el conjunto de sus soluciones en algunos de anillo $R$. Y, como Georges indica que se requiere una muy considerable cantidad de mecanismos técnicos para ello.
Ahora que tiene todo esto de la forma en que todas sus preguntas caída de ordenación de forma ordenada en línea:
- Mediante la aplicación de intuición geométrica/herramientas, entre las más poderosas y fácilmente se intuye entre todos de una matemáticos caja de herramientas, algo que (reciclaje de mi anterior frase) aparentemente no tiene derecho a ser susceptibles a este tipo de técnicas (por ejemplo, la ecuación $x^n+y^n=z^n$ más de $\mathbb{Q}$).
- Creo que es un poco de la magia negra. Uno podría ir a la cama cada noche soñando con la geometría intrínseca de ecuaciones, pero sin un profundo conocimiento técnico de la materia y de un cambio de ideas (la Grothendieck/Yoneda tipo de filosofía) este parece condenado. Esto es lo que la hace tan hermosa y emocionante.
- Todos de ellos. Al hablar con un compañero de número teórico de lo que puedo decir las palabras fundamentales del grupo, cohomology (de una constante gavilla!), la cotangente del paquete, suave, Lefschetz punto fijo fórmula,... y que no necesito especificar si estoy hablando de una curva elíptica más de $\mathbb{F}_p$ o una superficie lisa de más de $\mathbb{C}$. La utilidad de este lenguaje geométrico, no es para ser understimated. A pesar de que es un muy, muy simple instancia, este reciente respuesta de la mina da un gran ejemplo de cómo el lenguaje geométrico, hace puramente número teórico de preguntas caen en línea con la que hay geométricas equivalentes.
- No, yo no creo que este sea el caso. Pero, sin buceo de cabeza en el tema creo que no se puede apreciar la fluidez y el poder que Grothendieck uniforme del lenguaje trae a gran parte de la geometría algebraica, si más de $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{C}$.
