La categoría de conjunto parece más prominente/importante que la categoría REL. ¿Por qué es esto?

Question

Hay un montón de hablar de Conjunto, pero menos acerca de Rel. Como un extraño a la categoría de teoría, esto me sorprende, porque Rel parece "más cerrado". En particular,

1. La inversa de una función no es una función; mientras que la inversa de una relación es siempre una relación, y
2. El complemento de una función es (casi) nunca una función; mientras que el complemento de una relación es siempre una relación.

Por lo tanto, desde mi ingenuo punto de vista, Rel parece particularmente agradable. Así que, ¿por qué se Establece el más destacado?

Voy a adelantarse a una posible respuesta, a saber, que "La estructura de la preservación de los mapas entre estructuras algebraicas son funciones; por lo tanto, el Conjunto y sus subcategorías son particularmente interesantes." Mi contra-la pregunta es esta: ¿por qué la estructura de la preservación de los mapas deben ser funciones?

Answer 1

En matemáticas que estudiar aquello que es relevante, y no (necesariamente) que es más simétrica, bonito, fresco, o bueno. Es (tal vez no) una coincidencia que la mayoría de las cosas que son relevantes también son simétricas, bello, hermoso, fresco y agradable, pero que es además el punto.

Hacemos un estudio de los conjuntos y funciones debido a que estos son relevantes para el modelado de muchas, muchas cosas. Los procesos físicos son muy adecuadamente descrito el uso de funciones en lugar de relaciones. Lo mismo va para el modelado en muchas otras situaciones. El simétrica menor noción de una función simplemente parece ser más comunes en las relaciones generales en el sentido de que mientras que el complemento de una relación es una relación y que de una función no es, no me importa mucho ya que quiere tomar el complemento de una función de todos modos?

En cuanto a por qué conjuntos son más comúnmente utilizado para hablar de la estructura de la preservación de los mapas es de el mismo sabor. Los conceptos nos preocupamos de aplicaciones son cosas como grupos, anillos, campos etc. y las correspondientes nociones de la estructura de la preservación de los mapas son la función. E. g., a punta de topológica del espacio corresponde a un grupo fundamental. A un continuo señaló asignaciones corresponde a un grupo homomorphism.

Por otra parte, la matemática es altamente no-simétrica en el sentido de que está lejos de ser auto dual. Por lo tanto, en cierto sentido, la búsqueda de un auto de doble categoría debería provocar una reacción de "¿eh?!?! raro", en lugar de "Wow, vamos a adoptar".

Answer 2

Si tu pregunta es, literalmente, ¿por qué no hablar más en la categoría de teoría acerca de la Set de sobre Rel, creo que la respuesta es simplemente que las categorías son, por definición, el mismo que enriquece las categorías que se enriqueció a lo largo de Set. Esta es la razón por la Set desempeña un papel destacado en la categoría de teoría, por ejemplo, es por eso que el Yoneda la incorporación de la C tierras en functors de C^op a Set.

Ahora, tal vez usted realmente quería preguntar ¿por qué estudiamos el caso especial de la enriquecido categoría de teoría, donde las categorías están enriquecidos en Set por lo tanto, ¿por qué no utilizar en lugar de las categorías enriquecido en Rel (o tal vez no "en lugar de" pero "también") o alguna otra estructura que es a categorías como Rel es a Set (Creo alegorías son probablemente la única razonable de otros candidatos para este)? Que yo no estoy tan seguro acerca de. Sin duda hay un gran número de muy importantes e interesantes ejemplos de categorías enriquecido en Set, esto por sí solo justifica el estudio de ellos. Se puede pedir (1) hay también un montón de que ocurran naturalmente ejemplos de categorías enriquecido en Rel o de alegorías (que no son sólo categorías), (2) si no hay muchos, es por una buena razón, o simplemente falta de interés en Rel-enriquecido categorías o en alegorías? No sé las respuestas a las dos preguntas. Sospecho que la respuesta a (1) no es, pero que podría ser la ignorancia.

Answer 3

Algo que merece ser dicho aquí: $\mathsf{Rel}$, a diferencia de $\mathsf{Set}$, está lejos de ser completa o cocomplete! A continuación te voy a dar un ejemplo de un ecualizador que no existen en $\mathsf{Rel}$. Desde $\mathsf{Rel}$ es auto-dual, también no tiene coequalizers. La imagen no mejora mucho si tenemos en cuenta $\mathsf{Rel}$ 2-categoría: tiene los productos y (trivialmente) equifiers, pero no insertor (por lo que no tiene el PASTEL de los límites que la conformación de los 2 categoría noción de integridad).

Esto no es una respuesta completa, pero al menos es una práctica: la básica, primordial categorías tienden a tener una buena integridad de las propiedades, y que una parte importante de la forma de trabajar con ellos. Así que no podemos trabajar con $\mathsf{Rel}$ en el mismo camino.

Aquí están dos de las relaciones de $2 \to 1$ que no disponen de un ecualizador en $\mathsf{Rel}$ (donde$2 = \{0,1\}$$1 = \{0\}$): vamos a $\alpha$ ser el total de la relación (por lo $\alpha(0,0)$ $\alpha(1,0)$ tienen), y deje $\beta$ ser el adjunto de la función $1 \to 2$ que elige $0$ (de modo que $\beta(0,0)$ mantiene pero $\beta(1,0)$ no). Consideremos el conjunto a $X = \mathrm{Eq}(\mathsf{Rel}(1,\alpha), \mathsf{Rel}(1,\beta))$ relaciones $1 \to 2$ que igualar $\alpha$$\beta$. Dispone de 3 elementos: el vacío de la relación, el total de la relación, y la función que selecciona 0 (pero no la función que selecciona 1). Supongamos que fueron un ecualizador $E=\mathrm{Eq}(\alpha,\beta)$. Entonces tendríamos $\mathsf{Rel}(1,E) \cong X$. Pero para cualquier conjunto $E$, $\mathsf{Rel}(1,E)$ tiene cardinalidad $2^{|E|}$, por lo que no puede ser de 3, una contradicción.

Como para insertor, baste decir que hay una natural adivinar por qué el inyector debe ser, pero no funciona, y tan pronto como usted entiende por qué no se puede construir dos relaciones $2 \to 2$, lo que puede ser demostrado que no tienen inserción en mucho la misma manera como el ecualizador argumento va. Es incluso más fácil ver que $\mathsf{Rel}$ no tiene poderes con la flecha categoría - $\mathsf{Cat}(\uparrow, \mathsf{Rel}(1,X))$ es el conjunto de pares de subconjuntos $A \subseteq B \subseteq X$, que no está en bijection con un powerset $\mathsf{Rel}(1,X^{\uparrow})$ cualquier $X^{\uparrow}$