Integrales oscilatorias darme los pelos de punta

Question

Así que ahora que mi plazo es más, he estado dando un repaso a mi teoría del campo cuántico, y me encontré con la siguiente línea en mi libro de texto sin ningún tipo de justificación:

$$\frac{1}{4\pi^2}\int_m^{\infty}\sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}dE \sim e^{-imt}\text{ as }t\to\infty$$

Bueno, puedo ver intuitivamente que si la mayoría de la integral se anula, la principal contribución será de la región de $E\approx m$, ya que (en virtud de una transformación de coordenadas) que es la región de la fase estacionaria. Pero yo soy un matemático, dangit, no físico, y quiero que esta sea rigurosa.

La de Riemann-Lebesgue lema, si no me equivoco, no se aplica desde $\sqrt{E^2-m^2}$ es ilimitado como $E\to\infty$, y ciertamente no es $L^1$. Y supongo que podría cambiar la ruta de acceso de la integral fuera del eje real en el plano complejo, pero no veo por qué eso sería la correcta forma de tomar la integral. Todo el asunto me está dando la heebie-jeebies, y tenía la esperanza de que uno de los que la gente podía calmar mis miedos.

Answer 1

Claramente la integral como se indica diverge, así que uno necesita para regularizar. A tal fin, considerar la posibilidad de $t$ complejo con positivo pequeño de la parte imaginaria.

La integral directamente coincide con la siguiente representación integral de la función de Bessel de segunda clase: $$ K_{\nu }(z)=\frac{\sqrt{\pi } z^{\nu } }{2^{\nu } \, \Gamma \left(\nu +\frac{1}{2}\right)} \, \int_1^{\infty } \left(t^2-1\right)^{\nu -\frac{1}{2}} e^{-z t} \, \mathrm{d}t $$ válido para$\mathfrak{Re}(\nu) > -\frac{1}{2}$$\mathfrak{Re}(z) > 0$.

Por lo tanto: $$ \frac{1}{4 \pi^2} \int_m^\infty \mathrm{e}^{-i t \mathcal{E}} \sqrt{ \mathcal{E}^2 m^2} \mathrm{d} \mathcal{E} = -i \frac{m}{4 \pi^2 t} K_1\left( i m t \right) $$ Por medio de la regularización proclamamos que el integral igual a la rhs incluso para el real $t$. Expansión: $$ -i \frac{m}{4 \pi^2 t} K_1\left( i m t \right) = -i \frac{m}{8 \pi t} H_1(m t) + i \frac{m}{4 \pi t} \operatorname{signo}(t) J_1(m t) $$ Esto permite concluir que para $t \to +\infty$, la expresión es proporcional a $\mathrm{e}^{-i m t} \frac{\mathrm{e}^{-i 3 \pi/4}}{8} \sqrt{m} (\pi t)^{-3/2}$