Angelo Vistoli de notas en Grothendieck topologías, fibred categorías de descenso y la teoría son, probablemente, no es un mal lugar para comenzar en detalles técnicos. Las Pilas proyecto tiene una guía a la literatura. Uno puede entonces pasar a leer los otros capítulos de la Pila del proyecto de acuerdo con el apetito...
Una pila (sin ningún modificador de adjetivos!) es esencialmente una gavilla de las categorías de más de un sitio, salvo que la gavilla condición que tiene que ser debilitado en cuenta el hecho de que las categorías tienen dos dimensiones de la estructura. Así, en lugar de tener la coincidencia de las familias de las secciones que pueden ser fusionadas en una forma única, tenemos la coincidencia de las familias de objetos que pueden ser fusionadas de forma exclusiva hasta un único isomorfismo, y una vez que la revisión de las fusiones de la coincidencia de las familias de los objetos, la coincidencia de las familias de morfismos pueden ser fusionadas de forma exclusiva a la igualdad.
Probablemente no lo sepas, pero ya he visto un par de no-trivial ejemplos de pilas: por ejemplo, el Ejercicio 1.22 en el Capítulo II de [Hartshorne, la geometría Algebraica] esencialmente te pide demostrar que $\textbf{AbSh}(-)$ es una pila para el abierto de inmersión de la topología en la categoría de espacios topológicos. Uno de los resultados fundamentales de descenso de la teoría es que el $\textbf{Qcoh}(-)$ es una pila para el fpqc la topología en la categoría de esquemas.
Por supuesto, esto probablemente no es muy emocionante para un aparejador. El punto de partida para la geometría de las pilas es el functor de puntos punto de vista sobre los esquemas. No es difícil mostrar que el functor $\textbf{Sch} \to [\textbf{CRing}, \textbf{Set}]$ que envía un esquema para su functor de puntos es totalmente fiel – y otro de los resultados básicos de descenso teoría dice que el functor de puntos de un esquema es una gavilla para la fpqc la topología en $\textbf{Aff} = \textbf{CRing}^\textrm{op}$. Desde este punto de vista es fácil decir lo que es un espacio de moduli es: es un esquema que cuya functor de puntos es isomorfo a un cierto functor $\textbf{CRing} \to \textbf{Set}$ de interés, normalmente, uno de la forma $$R \mapsto \{ \text{isomorphism classes of certain $R$-schemes equipped with some data} \}$$
pero esto es algo insatisfactorio, ya que no logra captar la isomorphisms de las estructuras que se clasifica.
Entonces, ¿qué hacemos? En primer lugar, tenemos que sustituir functors $\textbf{CRing} \to \textbf{Set}$ con algo más general – en este caso, queremos mirar pseudofunctors $\textbf{CRing} \to \mathfrak{Grpd}$, porque lo que realmente interesa es el groupoid de ciertas estructuras sobre cada anillo de $R$. Cada conjunto determina una única discretos groupoid, por lo que este subsume la anterior noción. Podemos, a continuación, tire de la francesa truco de convertir un teorema en una definición – y entonces definimos módulos de pilas a ser el pseudofunctors de interés. El problema ahora es encontrar la (re)presentaciones de estos pseudofunctors, y esto es donde las cosas como algebraicas pilas de hacer su aparición.
¿Por qué hemos de generalizar los esquemas en todos? Bueno, es obvio que un groupoid es equivalente a un conjunto si y sólo si cada (iso)de morfismos en el groupoid puede ser el único marcados por su dominio y su codominio. (Un groupoid es a menudo llamado un setoid.) Esto significa que un esquema no es posible que representan los módulos de la pila de estructuras no triviales automorfismos, por ejemplo, familias de curvas elípticas. Así que tenemos que buscar otras representaciones.
Aquí es una manera de pensar acerca de la algebraicas pilas – y esto establece la conexión con orbifolds. No trivial de hecho sobre las pilas de groupoids es que el cociente de una pila de setoids por un interno de la groupoid acción es, en general, una pila de groupoids, pero no necesariamente una pila de setoids. Resulta que cada algebraica de la pila es el cociente de una pila de setoids representado por una expresión algebraica de espacio de esta manera, y podemos pensar algebraico de la pila como un "formal" cociente de una (suave) groupoid objeto en la categoría de algebraica de los espacios.
