Prueba elemental de la fórmula de Hurwitz

Question

Soy consciente de dos formas de la Hurwitz fórmula. La primera es la más común, y sólo se ocupa de los grados. Así que si $f:X \rightarrow Y$ no es una constante mapa de grado $n$ entre los dos proyectiva no singular curvas, con géneros $g_X$$g_Y$, luego $$ 2(g_X-1) = 2n(g_Y-1) + \gr(R), $$ donde $R$ es la ramificación divisor de $f$. La prueba de esto me fue dado como un ejercicio cuando comencé mi Doctorado, y estoy muy contento con él.

Sin embargo, en algún otro trabajo que yo estaba haciendo parecía que uno podría reforzar esta decir más bien que si $K_X={\rm div}(f^*(dx))$ $K_Y={\rm div}(dx)$ son canónicos divisores de $X$$Y$, luego $$ K_X = n\cdot K_Y + R. $$ He encontrado este que se alude en un número de lugares, e incluso declaró en Curvas Algebraicas Sobre Campos Finitos por Carlos Moreno. Sin embargo, este fue sin pruebas, y cada idea de una prueba que he visto es en gavilla teórico de la lengua. Poco a poco estoy consiguiendo a través de poleas y sistemas, pero actualmente estoy tratando de probar esto en una elemental forma de tocar el violín alrededor con las órdenes de $dx$ etc.), en la muy ramificado caso (la confiando inocentemente ramificado caso está muy bien).

Me gustaría saber si

1. Es posible demostrar esto sin el uso de poleas, etc de las muy ramificado caso
2. Si es así, ¿hay alguna referencia que ayude con esto.

edit: Además, hay un nombre diferente para el "más específico" Hurwitz fórmula?

Answer 1

Te gustaría Griffiths prueba de Riemann-Hurwitz (Introducción a las Curvas Algebraicas página 91, teorema (8.5) ) para un morfismos $f:X\to Y$ .
Es muy natural: él comienza a partir de un meromorphic diferencial de la forma $\omega \in \Omega(Y)$ (cuya existencia se admite provisionalmente ) , eleva a $f^*\omega \in \Omega(X)$,, a continuación, calcula y compara los divisores $div(f^*\omega), f^*(div(\omega))$ $R$ locales en las coordenadas.

Riemann-Hurwitz no es difícil, pero algo se explica el poco confuso resultado que la toma de divisores y levantamiento de no conmutan de formas diferenciales.

Editar
Stichtenoth da una prueba para los campos de cualquier carácter en el Corolario 3.4.13 en el lenguaje de la función de los campos, pero sólo bajo un supuesto de separabilidad.
La mayoría de fórmula general soy consciente de (pero no estoy en el menos un especialista) y que no requiere separación supuestos es Tate Género Fórmula.
Usted puede encontrar como Corolario 9.5.20 en Villa Temas en la Teoría de la expresión Algebraica de la Función de los Campos.

Answer 2

Esta fórmula apareció en Miranda del libro Curvas Algebraicas y las Superficies de Riemann, en la página 135. No requiere de una prueba por shreaves. Lo que necesitas es solo lo básico de la definición. Mirando la página y las páginas anteriores deberían ser suficientes direcciones para probar esto por sí mismo.

Edit: La más "específico" de la fórmula que se busca es sólo esta fórmula de formas diferenciales.