Cuando se habla de un espacio vectorial, que son implícitamente diciendo más de lo campo. Cuando uno menciona $\mathbb{C}^3$ (o más generalmente, $\mathbf{F}^n$ para cualquier campo $\mathbb{F})$, si nada más se dijo que el estándar de la convención es que usted está considerando como un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ (o en el caso más general, más de $\mathbf{F}$). En esa situación, sí, el "estándar", que consiste en los vectores $\mathbf{e}_i$ que tienen un $1$ $i$th coordinar y $0$s en otros lugares formar una base.
La noción de dimensión funciona en cualquier espacio vectorial sobre cualquier campo, por lo que aún es cierto que cada base para $\mathbb{C}^3$ (como un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$) debe tener $3$ elementos, etc.
Usted necesita ser un poco cuidadoso al decir que "cualquier base de $\mathbb{R}^n$ también sería una base para $\mathbb{C}^n$, pero no al revés", porque los conjuntos de vectores no son exactamente los mismos.
Sin embargo, dicho esto, sí: si $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ que son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$, entonces ellos también son linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$: para ver esto, tome $\lambda_j\in\mathbb{C}$, y escribo como $\lambda_j = \alpha_j + i\beta_j$$\alpha_j,\beta_j\in\mathbb{C}$. Entonces si
$$\lambda_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \lambda_n\mathbf{v}_n = \left(\alpha_1\mathbf{v}_1+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n\right) + i\left(\beta_1\mathbf{v}_1+\cdots+\beta_n\mathbf{v}_n\right) = \mathbf{0},$$
de ello se desprende que todas las $\alpha_j$ tiene que ser cero y todos los $\beta_j$ tiene que ser cero por la independencia lineal de más de $\mathbb{R}$. En particular, los vectores, cuando se la considera como elementos de $\mathbb{C}^n$, son una base.
Por el contrario, si $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ son vectores en $\mathbb{C}^n$, entonces si son linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$ (lo que permite complejo escalares), también son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$. Así que si están en los hechos contenidos en $\mathbb{R}^n$ (entradas en $\mathbb{R}$), y eran linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$, también son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$. Así que un conjunto de vectores de $\mathbb{R}^n$ que son base para $\mathbb{C}^n$ son también una base para $\mathbb{R}^n$.
La "gran diferencia" entre el $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{R}^n$ es que los vectores de las bases para $\mathbb{C}^n$ se les permite tener entradas complejas. Esto es importante cuando se considere la posibilidad de transformaciones lineales (y especialmente los lineales de los operadores). Si se limita a las bases en las que todos los vectores que tienen todas las coordenadas reales, usted no puede ser capaz de encontrar los vectores para los cuales transformaciones lineales son "amables"; pero una vez que te permites entradas complejas, un montón de cosas que son imposibles de hacer en general sobre $\mathbb{R}$ siempre son factibles $\mathbb{C}$. (Si usted ya sabe acerca de las transformaciones lineales, puede ser imposible diagonalize$\mathbb{R}$, y sin embargo ser capaz de hacerlo a través de $\mathbb{C}$; y Canónica de Jordan Formas siempre existe más de $\mathbb{C}$, pero no siempre por encima del $\mathbb{R}$).
