Cómo cambiar las variables en una superficie integral sin oponeros

Question

Esta es una duda que tengo desde mi PDE clases.

Algunos antecedentes (saltar):

En el curso de cálculo multivariable en mi universidad hemos hecho todo tipo de estándar de las estimaciones de la superficie y del volumen de las integrales en $R^3$, jacobians y las generalizaciones del teorema fundamental del cálculo. Con el fin de hacer los cálculos que hemos tenido para parametrizar los dominios y calcular los diferenciales.

Un par de años más tarde me llevó a un PDE, por supuesto. Hemos trabajado con Evans' ecuaciones diferenciales Parciales libro. Esta fue mi primera experiencia con el cálculo de $\mathbb R^n$ y manipulaciones como $$\text{average}\int_{B(x,r)}f(y)\,dy= \text{average}\int_{B(0,1)}f(x+rz)\,dz.$$ Este era un ordinario cambio de variables. $y=x+rz,\,\,dy=r^n\,dz$ y el misterio fue resuelto. Como en ese caso, yo era capaz de justificar la mayoría de estos formal manipulaciones después de desentrañar las definiciones.

Aparte de eso, me encontré con estos rápidos formal cálculos de ser muy poderoso.

Sin embargo,

Me di cuenta de que yo no era capaz de justificar esto: $$\text{average} \int_{\partial B(x,r)}f(y)dS(y)= \text{average}\int_{\partial B(0,1)}f(x+rz)\,dS(z).$$ Tengo una idea vaga de lo que está pasando: de la misma sustitución como antes, pero esta vez el jacobiano es $r^{n-1}$ debido a la transformación que está ocurriendo en realidad entre las regiones que "la falta de una dimensión". También, veo a algún tipo de patrón: un pedazo de arco de longitud en el plano es $r\,d\theta$, un pedazo de la esfera de la zona del es $r^2 \sin\theta \, d\phi \,d\theta$, "y así sucesivamente". Tal vez alguna medida de la teoría de la argumentación me puede ayudar: yo sé que, grosso modo, que cualquier medida $\mu$, $$\int_\Omega f\circ \phi \,d\mu=\int_{\phi(\Omega)} f \, d(\mu\circ\phi^{-1}).$$ I'd say $\phi(z)=(z-x)/r$ and $\phi^{-1}(y)=r+x$, but I actually don't know how $dS(y)$ looks like "as a measure" (It's not a product measure or a restriction of one, but it somehow relates to Lebesgue's in $\mathbb R^n$...). Why would I conclude that $dS(y)\circ \phi^{-1}=r^{n-1}dS(z)$? I have an intuition, but either I lack the mathematical concepts and definitions to express it or I'm just too confused. Is there some theory that I could learn in order to understand? Maybe something about the measure $dS$. Is it expressible in terms of the Lebesgue measure in some way? Or set-theoretically, maybe, without having to resort to $n-1$ los parámetros y las relaciones complicadas?

Tal vez todo esto no habría sido un problema si me había dominado n-dimensional de coordenadas esféricas. Pero aún así, más en general, hay una manera de cambiar las variables cuando estoy en la integración de más de una subregión de la dimensión"$<n$" sin necesariamente parametrización un?

Lo siento por la vaguedad, pero realmente no sé qué pedir exactamente.

Nota: he visto algunas de las respuestas a este post, pero ninguno de ellos era lo suficientemente profundo en la dirección que yo pretendo.

Nota II: Si no existen métodos generales o teorías, tal vez la restricción a transformaciones lineales, a la medida de Lebesgue exclusivamente, o subregiones definidas por expresiones simples como $g(x)=C$ o $g(|x|)=C$ me podía conseguir en algún lugar.

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Edit: tengo sólo casualmente oído hablar de la geometría diferencial, que ha sido mencionado en un comentario. He añadido a las etiquetas.

Answer 1

No parametrización es necesario, sólo un poco de cuidado con el descubrimiento de las definiciones. Tal vez el siguiente puede ayudar a:

Deje $S^n(r)=\{x\in\mathbb R^{n+1}|\|x\|=r\}\subset\mathbb R^{n+1}$ (la esfera de radio $r>0$ centrada en el origen).

Hay un volumen natural forma$\mu_{r}$$S^n(r)$, es decir, un lugar que se desvanece $n$-forma, inducida por la forma de volumen $\mu=dx_1\wedge\ldots \wedge dx_{n+1}$ $\mathbb R^{n+1}$ y el "exterior" de la unidad normal $N:S^n(r)\to\mathbb R^{n+1}$, $N(x)=x/r$, y se define como sigue:

$$\mu_r(x)(v_1,\ldots,v_n):=\mu(x)(N(x), v_1, \ldots, v_n)$$ for all $v_1, \ldots, v_n\en T_x S^n(r).$

(De manera más informal, escribimos $\mu_r=\mu/dr$. Tenga en cuenta que $dr(N)=1$).

La próxima vamos a $\Phi:S^n(1)\to S^n(r)$ ser definido por $\Phi(x)=rx$. A continuación, $$\Phi^*\mu_r=r^n\mu_1. Esto se puede probar sin ningún tipo de parametrización, sólo a partir de las definiciones anteriores y las generalidades, como la regla de la cadena, tire hacia atrás, etc.

A continuación, se deduce, por el cambio de las variables de la fórmula, que para cualquier función continua $f:S^n(r)\to\mathbb R$, $$\int_{S^n(r)}f\mu_r=\int_{S^n(1)} \Phi^*(f\mu_r)=r^n\int_{S^n(1)} (f\circ\Phi) \mu_1.$$

Tiene sentido?