¿Cuál es el álgebra envolvente universal correcta en característica positiva?

Question

Esta es una extensión de esta pregunta sobre álgebras simétricas en característica positiva. El título también es un poco en broma, ya que estoy seguro de que hay múltiples respuestas "correctas".

Sea $\mathfrak g$ una álgebra de Lie sobre $k$. Se puede definir el álgebra envolvente universal $U\mathfrak g$ en términos de la adjunción: $$\text{Hom}_{\rm LieAlg}(\mathfrak g, A) = \text{Hom}_{\rm AsAlg}(U\mathfrak g, A)$$ para cualquier álgebra asociativa $A$. Luego es suficiente comprobar que $U\mathfrak g$ es el cociente del álgebra tensorial libre generado por $\mathfrak g$ por el ideal generado por elementos de la forma $xy - yx - [x,y]$. (Al menos, estoy seguro de esto cuando la característica no es $2$. No tengo un buen entendimiento en característica $2$, porque he escuchado que la noción correcta de "álgebra de Lie" es diferente.)

Pero hay otra buena álgebra, que coincide con $U\mathfrak g$ en característica $0$. Es decir, si $\mathfrak g$ es el álgebra de Lie de algún grupo algebraico $G$, entonces creo que el álgebra de operadores diferenciales invariante por la izquierda es una especie de versión de "potencias divididas" de $U\mathfrak g$.

Entonces, ¿es cierto que estas nociones divergen en característica positiva? Si es así, ¿tiene el álgebra de potencias divididas una buena descripción de generadores y relaciones? Más importante aún, ¿qué anillos se utilizan para qué?

Answer 1

Las nociones de hecho difieren en característica positiva: no es la envolvente de álgebra, y luego (en el caso de que $\mathfrak g$ es el álgebra de la Mentira de una expresión algebraica grupo G) también existe la hyperalgebra de G, que es la división de la potencia de la versión que usted menciona. En el carácter 0. estas dos álgebras de coincidir, pero en característica positiva difieren mucho. En particular, el hyperalgebra no es finitely generado en característica positiva; ver Takeuchi papel de "Generadores y Relaciones para la Hyperalgebras de Reductora Grupos" para el reductor de caso. También hay una buena exploración de la hyperalgebra en Haboush del papel "Central de Operadores Diferenciales de Split Semisimple Grupos Sobre los Campos de Característica Positiva."

Se puede obtener el hyperalgebra de la siguiente manera. No sé en qué generalidad la siguiente construcción se mantiene, así que vamos a decir que $\mathfrak g$ es el álgebra de la Mentira de una expresión algebraica grupo G, definida sobre $\mathbb Z$. Luego hay un $\mathbb Z$-forma de la envolvente de álgebra de G (la Kostant $\mathbb Z$-forma), formada por tomar dividido los poderes, y sobre la base de este cambio de álgebra se convierte en el hyperalgebra. Alternativamente, uno puede tomar un apropiado de Hopf-algebra dual del anillo de funciones G (cf Jantzen del libro "las Representaciones Algebraica de los Grupos").

Como para sus usos, en característica positiva de la hyperalgebra de G captura la teoría de la representación de G en la forma en que la envolvente de álgebra en la característica 0, es decir, de lo finito-dimensional representaciones de G son exactamente la misma que la de lo finito-dimensional de las representaciones de la hyperalgebra. Esta falla por completo para la envolvente de álgebra: en su lugar, el álgebra envolvente sólo ve las representaciones de la primera Frobenius núcleo de G.

Answer 2

Se le olvidó el tercero: restringido envolvente de álgebra. Por lo tanto, en característica p tenemos 3 envolvente álgebras con homomorphisms U->U_0->U_{dp} Todos los 3 son álgebras de Hopf y puede ser utilizada para diferentes cosas. Usted necesita para formular su pregunta de una manera mejor. ¿Qué quieres usar?

Todos ellos son diferentes, a menos que su Mentira álgebra es cero. Si g es finito-dimensional, U es finitely generados, pero de dimensiones infinitas, U_0 es finito-dimensional y U_{dp} no es finitely generado. Si g es el álgebra de la Mentira de una expresión algebraica de grupo, se puede describir U_{dp}(g) invariantly pero realmente no se puede escribir generadores y relaciones: U_{dp} no es finitely generado.