Encontrar el menor elemento de los mayores elementos de ciertos subconjuntos de los números naturales

Question

Este es un problema que un profesor propuso para la olimpiada matemática de bachillerato en Costa Rica y que no hemos podido resolver. Por lo tanto no se puede preguntar ya que no tenemos una solución todavía en general.

Dejemos que $\mathcal{F}_{k}$ para un fijo $k \in \mathbb{N}$ sea la familia de subconjuntos $A_i \subset \mathbb{N}$ que cumplan las siguientes condiciones:

1) La cardinalidad de $A_i$ es $k$ para cada índice $i$ .

2) Para cada $A_i$ se sostiene que dados dos subconjuntos diferentes de dos elementos $ \{ x, y \} \neq \{ z, w \}$ el valor absoluto de las diferencias entre los elementos de cada subconjunto es diferente

$$ |x - y| \neq |z - w|$$

Ahora definimos una función $f: \mathcal{F}_k \rightarrow \mathbb{N}$ dado por $$f(A_i) = \max{A_i}$$

El problema es encontrar el mínimo de la imagen de $f$ es decir, encontrar

$$\min{f(\mathcal{F}_k)}$$

Por ejemplo, sabemos que para $k = 4$ la respuesta es $\min{f(\mathcal{F}_4)} = 7$ y para $k = 3 $ la respuesta es $\min{f(\mathcal{F}_3)} = 4$ pero no tenemos un patrón general para la solución, básicamente estos fueron hechos por "fuerza bruta".

Agradeceríamos mucho cualquier ayuda con este problema. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Aquí hay algunos valores más, a partir de $\mathcal{F}_1$ : $$1,2,4,7,12,18,26,35,45,56,73,86,107,128,152,178,200,217,247,284,334,357,373,426,481,493,\ldots$$ Estás tratando de encontrar el más corto Regla de Golomb de un tamaño determinado. Creo que los valores óptimos exactos son desconocidos en general.

EDIT: Esto es A003022 (en el que todos los números son $1$ menos, por ejemplo $(0,)1,3,6,\ldots$ ).