Suma de las medidas e integral

Question

Supongamos que tenemos una medida que puede ser expresada como combinación lineal de 2 medidas: $m=am_1+bm_2$. ¿Qué implica esto para el cálculo de la integral? Tenemos:

$$\int f\,dm=a\int f\,dm_1 + b\int f\,dm_2$$

Aquí me parece una medida positiva con $f$ algunos mapa medible. El ejemplo que tengo en mente es la suma de dirac medidas $1/2(\delta_0+\delta_1)$ $[0,1]$.

Answer 1

Esto funciona bien cuando todas las medidas son finitos o $a$ y $b$ son no negativos.

Podemos comprobar la mencionada fórmula considerando funciones simples primeras (combinaciones lineales de funciones características de los conjuntos medibles), después saltan al caso general aproximación casi por todas partes por una secuencia de funciones simples.