¿Cuál es la motivación detrás de la definición de un espacio métrico completo?
Intuitivamente, una métrica completa es completa si no están puntos falta de él.
¿Cómo mostrar la definición de integridad (en términos de convergencia de secuencias de cauchy)?
Para "llenar los huecos" o "añadir los puntos que faltan" es de suponer que la media de la incrustación de la métrica del espacio como un subespacio de un mayor espacio métrico. Para evitar trivialidades como la colocación de una línea en el interior del avión, es necesario (y que parece ser el único sensato de la interpretación que el espacio es denso en el espacio más grande: cada vecindad de un punto en el espacio más grande contiene los puntos del espacio más pequeño.
Un completo espacio métrico es una a la que nada nuevo puede ser añadido en este camino. El "sin agujeros" de la definición de integridad es equivalente a la integridad definida por el uso de secuencias de Cauchy.
Un término más preciso que los huecos de "pinchazos". Los agujeros también tienen un sentido topológico, tales como el agujero rodeado por un anillo en el avión, el agujero de un toro, o el ojo de la cerradura en una cerradura.
No voy a agregar nada directamente relacionado con tu pregunta y las respuestas anteriores, pero hacer algo de propaganda de un teorema que me gusta desde que era estudiante y que, creo, dice algo más fuerte que la comparación alguna idea intuitiva de completura con su definición.
Un poco relacionados con la noción de integridad es la geodesical uno. La definición no puede ser demasiado atractivo, a menos que usted está interesado en la geometría diferencial, sino una de sus consecuencias es fácil de explicar: si un colector de Riemann es geodesically completa, usted puede unirse a cualquiera de los dos puntos por una longitud de minimizar geodésica. (Pero geodésica ya implica que minimiza la longitud, ¿no? No exactamente: sólo localmente. Así, por ejemplo, el meridiano de unirse al Polo Norte con los de Londres, pero ir "hacia atrás", a través del Estrecho de Bering y el Océano Pacífico, luego el Polo Sur, África y, finalmente, de Londres, es una geodésica, pero no una longitud de la minimización de una descaradamente.)
De todos modos, $\mathbb{R^2} \backslash \left\{ (0,0)\right\} $ es no geodesically completo, ya que no hay una duración minimizar geodésica de unirse, dicen, $(-1,0)$$(1,0)$, debido a que el "agujero" $(0,0)$. Al mismo tiempo, como un espacio métrico, $\mathbb{R^2} \backslash \left\{ (0,0)\right\}$ es no completa: la secuencia de Cauchy $(\frac{1}{n}, 0)$ converge a $(0,0)$, pero desde $(0,0)$ no $\mathbb{R^2} \backslash \left\{ (0,0)\right\}$ no tiene un límite.
Bueno, el de Hopf-Rinow teorema nos dice que este tipo de cosas siempre pasan juntos: un "agujero" para geodesics es el mismo que el de un "agujero" para secuencias de Cauchy, ya que por un (finito-dimensional) de Riemann colector $M$, ambas nociones están de acuerdo: $M$ es un espacio métrico si y sólo si es geodesically completa.
Tiendo a pensar de esta manera: A Cauchy secuencia en cualquier espacio métrico es una tales que para todos $\varepsilon > 0$ la cola de la secuencia es eventualmente en algunos $\varepsilon$-pelota (no necesariamente el mismo punto para todos los $\varepsilon$). En otras palabras la única forma de que una secuencia de Cauchy puede no converger es si el límite es de alguna manera "no". Por lo tanto, la elección de la palabra "completa" porque todos los límites que deben estar allí, existen en realidad.
Esta respuesta sólo se aplica a la orden de la versión de integridad en lugar de la métrica versión, pero he encontrado que es una buena manera de pensar acerca de lo que la integridad significa intuitivamente: considere los números reales. Allí la integridad de la propiedad es lo que garantiza que el espacio está conectado. Los racionales se puede dividir en disjuntos no vacíos abrir subconjuntos, por ejemplo el conjunto de todos los racionales positivos, cuyas plazas son mayores que dos, y su complemento, y la razón por la que esto funciona es porque, a grandes rasgos, hay un "hueco" entre los dos conjuntos que permite separarlas. En los reales esto no es posible; siempre hay puntos en los extremos de los intervalos, así que cada vez que la partición de los reales de a dos no vacía de subconjuntos, uno de ellos siempre van a fallar a ser abierto.
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