Hay un procedimiento simple que captura toda la intuición, incluyendo los psicológicos y los elementos geométricos. Se basa en el uso de proximidad espacial, que es la base de nuestra percepción y proporciona una manera intrínseca a la captura de lo que es sólo imperfectamente medido por simetrías.
Para ello, es necesario medir la "complejidad" de estas matrices en diferentes escalas locales. Aunque tenemos mucha flexibilidad para elegir esas escalas y elegir el sentido en que medida el "proximidad" es bastante simple y lo suficientemente eficaz como para el uso de una pequeña plaza barrios y a buscar en los promedios (o, de manera equivalente, la suma) dentro de ellos. Para este fin, una secuencia de matrices pueden ser derivados de cualquier $m$ por $$ n de la matriz mediante la formación de mudarse de barrio sumas usando $k=2$ $2$ barrios, luego $3$ por $3$, etc, hasta $\min(n,m)$ $\min(n,m)$ (aunque por entonces generalmente hay muy pocos valores para proporcionar nada fiable).
Para ver cómo funciona esto, vamos a hacer los cálculos de las matrices de la pregunta, que voy a llamar a $a_1$ través $a_5$, de arriba a abajo. Aquí están las parcelas de mover las sumas de $k=1,2,3,4$ ($k=1$ es la matriz original, por supuesto) que se aplica a $a_1$.
![Figure 1]()
Las agujas del reloj desde la parte superior izquierda, $k$ es igual a $1$, $2$, $4$, y $3$. Las matrices son de $5$ por $5$, entonces $4$ por $4$, $2$ $2$ y $3$ por $3$, respectivamente. Todos ellos se ven como una clase de "azar." Vamos a medir esta aleatoriedad con su base-2 de la entropía. Por $a_1$, la secuencia de estos entropías es $(0.97, 0.99, 0.92, 1.5)$. Vamos a llamar a esto el "perfil" de $a_1$.
Aquí, en cambio, son el movimiento de las sumas de $a_4$:
![Figure 2]()
Por $k=2, 3, 4$ que hay poca variación, de donde baja entropía. El perfil es $(1.00, 0, 0.99, 0)$. Sus valores son sistemáticamente inferiores a los valores por $a_1$, lo que confirma la intuición de que existe una fuerte "patrón" presentes en $a_4$.
Necesitamos un marco de referencia para la interpretación de estos perfiles. Un perfectamente aleatoria matriz de valores binarios tendrá sólo la mitad de sus valores igual a $0$ y la otra mitad igual a $1$, para una entropía de $1$. El movimiento de sumas dentro de los $k$ por $k$ barrios tienden a tener distribuciones binomiales, dándoles predecible entropías (al menos para las grandes matrices) que se puede aproximar por $1 + \log_2(k)$:
![Entropy plot]()
Estos resultados son producto de la simulación con las matrices de hasta $m=n=100$. Sin embargo, se rompe para arreglos pequeños (tales como los $5$ por $5$ matrices de aquí), debido a la correlación entre los vecinos de windows (una vez que el tamaño de la ventana es de aproximadamente la mitad de las dimensiones de la matriz), y debido a la pequeña cantidad de datos. Aquí es un perfil de referencia de azar $5$ por $5$ matrices generadas por la simulación junto con las parcelas de algunos perfiles:
![Profile plots]()
En esta parcela el perfil de referencia sólido azul. La matriz de perfiles corresponden a $a_1$: rojo, $a_2$: oro, $a_3$: verde, $a_4$: luz azul. (Incluyendo $a_5$ oscurecería la foto, porque está cerca el perfil de $a_4$.) En general los perfiles corresponden a la ordenación de la pregunta: bajan en la mayoría de los valores de $k$ como la aparente pedidos aumenta. La excepción es de $a_1$: hasta el final, por $k=4$, sus sumas tienden a tener entre los más bajos de entropías. Esto revela una sorprendente regularidad: cada $2$ $2$ vecindario en $a_1$ tiene exactamente $1$ o 2 $de$ cuadrados de color negro, nunca de más o de menos. Es mucho menos "al azar" de lo que uno podría pensar. (Esto es en parte debido a la pérdida de información que acompaña a sumar los valores de cada barrio, un procedimiento en el que se condensa $2^{k^2}$ es posible vecindario configuraciones en sólo $k^2+1$ de diferentes sumas posibles. Si queríamos cuenta específicamente para la agrupación y la orientación en cada barrio, en vez de usar mueve sumas que debemos usar en movimiento concatenaciones. Es decir, de cada $k$ por $k$ el barrio de $2^{k^2}$ posibles configuraciones diferentes; por distinguir todos ellos, podemos obtener una mejor medida de la entropía. Tengo la sospecha de que tal medida podría elevar el perfil de $a_1$ en comparación con el resto de imágenes.)
Esta técnica de creación de un perfil de entropías controlado a través de una amplia gama de escalas, mediante la suma (o la concatenación o de lo contrario, la combinación de valores en movimiento barrios, ha sido utilizada en el análisis de imágenes. Es una de dos dimensiones de la generalización de la conocida idea de analizar el texto por primera vez como una serie de letras, y luego como una serie de bigramas (secuencias de dos letras), entonces, como trigraphs, etc. También tiene algunas evidente de las relaciones de fractal análisis (que estudia las propiedades de la imagen al usar escalas más finas). Si tomamos un poco de cuidado al usar un bloque de suma móvil o bloque de concatenación (por lo que no hay coincidencias entre los de windows), se puede derivar de simples relaciones matemáticas entre las sucesivas entropías; sin embargo, sospecho que el uso de la ventana móvil de un enfoque que puede ser más poderoso y es un poco menos arbitraria (porque no depende de cómo, precisamente, la imagen se divide en bloques).
Varias extensiones son posibles. Por ejemplo, para una rotación invariable perfil, el uso de la circular de los barrios en lugar de cuadrado. Todo lo que se generaliza más allá de matrices binarias, por supuesto. Con suficientemente grande matrices se puede calcular localmente variación de entropía perfiles para detectar la no-estacionariedad.
Si un solo número que se desea, en lugar de un perfil completo, elegir la escala en la que la aleatoriedad espacial (o falta de ella) es de interés. En estos ejemplos, que la escala correspondería mejor a los $3$ por $3$ o $4$ por $4$ mudanza de barrio, debido a que por su patrón de todos ellos dependen de las agrupaciones que abarcan tres a cinco células (y $5$ por $5$ vecindario promedios de distancia toda variación en la matriz y así es inútil). En la última escala, las entropías de $a_1$ través $a_5$ son $1.50$, $0.81$, $0$, $0$, y $0$; a la espera de la entropía en esta escala (para un uniformemente al azar de la matriz) es de $1.34$. Esto justifica el sentido de que $a_1$ "debería haber más alta entropía." Para distinguir los $a_3$, $a_4$, y $a_5$, los cuales están asociados con $0$ entropía en esta escala, mira la siguiente resolución más fina ($3$ por $3$ barrios): sus entropías son $1.39$, $0.99$, $0.92$, respectivamente mientras que un azar de la cuadrícula se espera que tenga un valor de $1.77$). Con estas medidas, la pregunta original pone las matrices exactamente en el orden correcto.
