Lista de matemáticos imposibles probado usando las herramientas especiales

Question

Siempre es raro ver una prueba de que algo es imposible, sobre todo cuando las herramientas utilizadas en la prueba no tienen nada que ver(a primera vista) con el enunciado original del problema. Sé que algunos de esos teoremas matemáticos, lo que demuestra que algunos hechos no puede suceder en varias áreas de las matemáticas como la geometría, el álgebra, el análisis. Un ejemplo es que no hay una fórmula general, utilizando sólo los radicales, para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que $5$. La prueba de este teorema se utiliza la teoría de Galois, y esta herramienta fue inventado especialmente para la solución de este problema.

¿Qué otros teoremas ¿sabe usted que demostrar que ciertos hechos son imposibles en matemáticas, y en sus pruebas, algo inesperado se utiliza?

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Ya que me pidieron para ser más específicos, ya os contaré más acerca de lo que estaba pensando. Veo que una primera respuesta, acerca de la imposibilidad de la trisection del ángulo fue publicado. Este es exactamente el tipo de respuestas que tengo en mente. Está demostrado que un ángulo que no se puede dividir en tres partes iguales usando una regla y un compás, pero la prueba no tiene nada que ver con la geometría. Se utiliza la teoría de Galois.

Otro ejemplo: es imposible para diseccionar la unidad de la plaza en un número impar de triángulos con áreas iguales. Esto se conoce como Monsky del Teorema, y la única prueba conocidos(que yo sepa) que utiliza $p$-ádico valoraciones de los argumentos, de nuevo, algo que normalmente no se podría esperar.

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Yo encontré algunos ejemplos:

Imposibilidad de realizar alguna construcción con regla y compás.

La imposibilidad de calcular el $\int e^{x^2}dx$ en un plazo razonable en forma cerrada. ( Primera vez que oí hablar de esto cuando estaba en mi primer año de universidad, pero la maestra no dijo que lo probaron, o cómo se puede hacer.)

Answer 1

Natural de la imposibilidad pregunta en el nudo de la teoría (tal vez el más básico e importante) es para preguntar si es posible que, dadas dos nudo diagramas, para transformar uno de ellos en el otro por medio de los movimientos de Reidemeister. Por Reidemeister del teorema, esto es equivalente a que ellos presenten el mismo nudo. Por supuesto, si es posible, a continuación, sólo podemos exhibir una secuencia de movimientos, pero si es imposible, ¿cómo demostrar que esto no es tan claro.

Es un método para construir nudo invariantes. Estos son objetos tales como polinomios construido a partir del nudo de los diagramas y las invariantes bajo la Reidemeister se mueve; por lo tanto, si dos nudo diagramas tienen diferentes invariantes, que no pueden presentar el mismo nudo. Un ejemplo sencillo es tricolorability, que ya demuestra que el nudo de trébol no es el unknot. Más sofisticados y poderosos ejemplos tales como el polinomio de Alexander y el nudo de grupo puede ser construido con métodos topológicos (pero usando el nudo grupo no es tan fácil como usar polinomios porque es indecidible, en general, si dos grupos son isomorfos dado sólo sus presentaciones, mientras que es bastante sencillo para decidir si dos polinomios son iguales).

En 1984 Vaughan Jones descubrió el polinomio de Jones en una forma bastante inesperada, mientras que el estudio de las álgebras de operadores. Este descubrimiento fue el pionero de la ahora muy activo en el campo de quantum nudo invariantes, que tiene vínculos a otros muchos campos de las matemáticas. No sé una gran introducción a encuesta sobre estas ideas, pero se puede consultar, por ejemplo, Turaev del Quantum invariantes de nudos y 3-variedades, y también hay algunas buenas palabras clave y los enlaces en la nLab página sobre el nudo de invariantes.

Answer 2

El Bolyai-Gerwien teorema establece que dos polígonos en $\mathbb{R}^2$ tienen la misma área, si y sólo si es posible cortar uno en un número finito de piezas poligonales y girar y traducir estas piezas para obtener el otro (tijeras de la congruencia). Es natural preguntarse si el mismo es cierto de las dimensiones superiores, y este es el tema de (un problema estrechamente relacionado con) de Hilbert tercer problema.

Dehn mostraron que la respuesta no era para poliedros en $\mathbb{R}^3$. La prueba depende de la definición de un invariante no trivial, la Dehn invariante (ver el artículo de la Wikipedia para más detalles), de los poliedros que se conserva con las tijeras de la congruencia. La definición requiere que el tal vez inesperado uso de la $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $\mathbb{R} / \mathbb{Q} \pi$ así como el quizás inesperado uso de un producto tensor. Uno, a continuación, presenta un par de poliedros con el mismo volumen pero de diferentes Dehn invariantes; por lo tanto, es imposible cortar uno de ellos en pedazos y girar y traducirlos a hacer el otro.

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La estructura de este argumento es formalmente similar a la moderna de Galois de la teoría de la prueba de la unsolvability de la quintic. En lenguaje moderno, se define una clase de extensiones de Galois, la solución de las extensiones, y se pregunta si una extensión definida por las raíces de una irreductible quintic es siempre de esa forma. La respuesta es no, y la razón es que uno puede asociar un invariante, el grupo de Galois, a una extensión de Galois de tal manera que no existe una irreductible quintic tal que el asociado grupo de Galois no es solucionable (históricamente, la razón de este nombre es que los grupos de Galois de solucionable extensiones tienen solución).

Por lo que una estrategia general para la escritura de la imposibilidad de las pruebas en este sentido es trivial encontrar fuentes de invariantes, que por supuesto puede venir de muchas áreas inesperadas de las matemáticas.

Answer 3

La computabilidad teoría de la Lógica está lleno de este tipo de declaraciones.

Turing del papel que hay números reales que no pueden ser computada por una máquina es, creo, una posibilidad. El (especial) la prueba (la técnica) es por diagonalización. Uno puede ver que hay countably muchos "funciones recursivas" por lo tanto countably muchos programas. Es entonces fácil de encontrar, mediante diagonalización, un número real que no puede ser calculada por cualquier programa.

Otra es la imposibilidad de un algoritmo que puede decidir cualquier declaración acerca de las matemáticas. El original de la prueba, dado por Turing, es en realidad un corolario de la anterior. Más tarde la prueba, creo que se atribuye erróneamente a Turing, es el uso de la técnica especializada llamado la detención problema (que es esencialmente una prueba por contradicción).

Hay también, en la teoría de la computabilidad, los llamados teoremas de incompletitud de Gödel. Estos afirmar que es imposible obtener una coherente y completa de la teoría de las matemáticas.

También hay Cohen teoremas que afirmar que es imposible saber si la hipótesis continua (CH) es Verdadera de la Falsa. Esto es debido a que uno puede construir el modelo de la teoría de conjuntos en los que la CH es cierto y otros modelos en los que CH es falso. Esta usa una gran herramienta especializada denomina forzamiento.

Answer 4

La prueba que algunas funciones elementales no ha una integral elemental por Liouville y más tarde generalizado por Rosenlicht y otros. Este último desarrollo introdujo teoría de Galois en ese contexto, que puede parecer al principio extraño. Ver esta respuesta para referencias.

Answer 5

Algo de lo que estaba hablando sólo de hoy en día: es imposible trisect el ángulo (en general). Este utiliza la teoría de Galois, aunque en un grado mínimo. La clave para demostrar esto es para observar que todo en la $\mathbb K$, el campo de la construible números, se realiza mediante la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas (que provienen de líneas y círculos) para que cualquier $x\in \mathbb K$ $\mathbb Q(x_1)\cdots(x_n)$ algunos $x_1,\ldots,x_n$ tal que $\mathbb Q(x_1)\cdots(x_k)(x_{k+1})/\mathbb Q(x_1)\cdots(x_k)$ es una ecuación cuadrática de extensión de campo para cada una de las $k\in\{0,\ldots,n-1\}$. Pero el polinomio mínimo de a $\sin 10^{\circ}$ $8x^3-6x+1$ (como pueden ser creadas usando identidades trigonométricas) y por lo $\sin 10^{\circ}$ se encuentra en un cúbicos de extensión de $\mathbb Q$, por lo tanto no es construible. Desde $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, esto significa $30^{\circ}$ no puede ser trisected con un compás y una regla.