¿Cómo mostrar esta fracción es igual a 1/2?

Question

Tengo la fracción: $$\frac{\left(2 \left(\frac {a}{\sqrt{2}}\right) + a \right) a} {2(1 + \sqrt{2})a^2}$ $

Usando Mathematica, he encontrado que esto simplifica a $\frac{1}{2}$, pero ¿cómo logró el resultado? ¿Cómo puedo simplificar esa fracción a $\frac12$?

Answer 1

$$ \frac {(2 (\frac {a} {\sqrt {2}}) + a) una} {2 (1 + \sqrt {2}) un ^ 2} = \frac{(\sqrt{2}a+a) un} {2 (1 + \sqrt {2}) un ^ 2} = \frac{(\sqrt{2}+1) una ^ 2} {2 (1 + \sqrt {2}) un ^ 2} = {1\over2}. $$

Answer 2

Creo que puede haber faltado por definición,

$\sqrt{2}\sqrt{2}=2$

Y así,

$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Este tema de simplificación es muy común. Por supuesto el uso de este, multiplicando hacia fuera y Factorizando términos puede obtener el resultado deseado:

$$=\frac{(\sqrt{2}+1)a^2}{2(\sqrt{2}+1)a^2}$$

En el que el $\frac{(\sqrt{2}+1)a^2}{(\sqrt{2}+1)a^2}$ reduce a uno en el caso $a \neq 0$.

Answer 3

Asumir $a\neq 0$, tenemos\begin{align*} \frac{\left(2\left(\frac {a}{\sqrt{2}}\right)+a\right)a} {2(1+\sqrt{2})a^2}&=\frac{\left(\frac{2a}{\sqrt 2}+a\right)}{2(1+\sqrt 2)a}\tag 1\\ &=\frac{\left(\frac{2}{\sqrt2}+1\right)a}{2(1+\sqrt 2)a}\tag2\\ &=\frac{\left(\frac{2}{\sqrt2}+1\right)}{(2+2\sqrt 2)}\\ &=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}\cdot \frac{\left(\frac{2}{\sqrt2}+1\right)}{(2+2\sqrt 2)}\\ &=\frac{2+\sqrt 2}{2\sqrt 2+2\cdot 2}\\ &=\frac{2+\sqrt 2}{2\sqrt 2+4}\\ &=\frac{(2+\sqrt 2)}{2(2+\sqrt 2)}\\ &=\frac{1}{2} \end{align*} en $(1)$ canceló el primer $a$ y $(2)$ factorizar el segundo $a$ cancelar también.

Answer 4

Factor de una $a$ en la parte superior, parte superior e inferior se multiplican por $\sqrt 2$. Te queda con $$\frac{(2+\sqrt2)a^2}{2(2+\sqrt2)a^2}$ $ esto es claramente igual a $\frac12$.

Answer 5

Usted podría intentar ajuste $a$ a un valor distinto de cero arbitrario y ver qué pasa. Trato de $a = 3$:

$$\frac{\left(2 \left(\frac {3}{\sqrt{2}}\right) + 3 \right) 3} {2(1 + \sqrt{2})3^2} = \frac{9 + 9 \sqrt{2}}{18 + 18 \sqrt{2}}.$$