Ejemplo de una superficie en la que más de uno coordinar la revisión es necesario.

Question

Me parece la esfera ejemplo decepcionante. Estoy seguro que se puede ver que uno abra el parche no lo cubre, pero se las arregla para cubrir en su mayoría. Tanto es así que usted puede seguir adelante y, por ejemplo, calcular el área de una esfera usando solo un parche

$$\sigma(u,v) = (r \cos(u) \sin(v), r \sin(u) \sin(v), r \cos(v))$$ con $$ u \in \Omega_u = (0,\pi), \qquad v \in \Omega_v = (0, 2\pi) $$ Entonces $$\sigma_{Area} = \int_{\Omega_u}\int_{\Omega_v}\sqrt{\sigma_u^2 \sigma_v^2-\sigma_u \cdot\sigma_v} du dv = \int_{\Omega_u}\int_{\Omega_v}\sqrt{r^4 \sin(v)^2} du dv \\ \\= r^2 \int_0^\pi \int_0^{2\pi}|\sin(v)| du dv \\ \\ = 2 \pi r^2 \int_0^{\pi} \sin(v) dv \\ \\ = 4 \pi r^2$$

El problema para mí cuando se trata de comprender la geometría diferencial es que los libros todos demasiado a menudo mencionan la esfera como un ejemplo de algo que necesitan un atlas (que parece, a mí, a ser pragmática falso) a continuación, pasar a la generalizada teoremas en $n$ dimensiones y muy rápidamente me suelta.

Estoy seguro de que para hacer algo a veces puede necesitar más de un parche en la esfera, pero agradecería un ejemplo que puedo entender fácilmente, y calcular las cosas, sino que requiere algo más de cuidado, porque no puedo usar solo un parche y salirse con la suya. (El toro también me permite engañar).

En particular me gustaría un ejemplo de una limitada superficie suave que es fácil de entender pero se requiere de al menos dos coordinar parches para, por ejemplo, calcular el área de la superficie total. Con parches dado explícitamente. Bastante Favor?!

Muchas gracias de antemano.

Editar: Agradezco todas las respuestas que figuran a continuación. Supongo que la pregunta no estaba bien formado, en primer lugar, sin embargo por lo que he seleccionado la respuesta que se ocupa de la trampa que me trajo de la mejor manera.

Answer 1

Usted puede calcular el volumen de cualquier conectado el colector de usar un solo parche - conectado a un colector admite una función de Morse con 1 (un máximo deCualquier colector admite una función de morse con un mínimo y un máximo) y por lo tanto es una unión de una pelota grande (la inestable colector de la máxima) y un subconjunto de los estrictamente menor dimensión (la unión de todos los demás inestable submanifolds).

Sin embargo a) el parche sería, en general, bastante complicado (no es fácil escribir de forma explícita) b) cómputo de los volúmenes está muy lejos de ser la única cosa que uno quiere hacer.

Answer 2

Si partimos de una esfera y mantener la fijación de las asas, se obtiene una superficie con alto nivel de género.

El número de coordinar los parches tan necesarios son, al menos, el género $g$ (más de dos).

Si identificamos un desprendimiento de la manija con un cilindro, es claro que necesitamos en la mayoría de los dos parches adicionales cada manija. Por otro lado, necesitamos al menos un extra de la revisión, para compensar el cambio de la característica de Euler. Por lo tanto el número de $\eta$ de las necesidades de coordinar los parches:

$$ g+2 \leq \eta \leq 2g+2.$$

Answer 3

"Pegamento" hemisferio inferior de la esfera $x^2+y^2+z^2 = 1$ con la parte de $x^2+y^2-z^2 = 1$ $z \geq 0$ (una sábana hyperboloid). Se superpondrá con suavidad en el círculo de la $\{ (x,y,z) \in \Bbb R^3 \mid x^2+y^2 = 1,\,z = 0\}$. Para la parte inferior el uso de la costumbre parametrización de la esfera: $${\bf x}(u,v) = (\cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u), \quad 0 \leq v \leq 2\pi, \,\pi \leq u \leq 2\pi,$$ and for the upper part use: $${\bf x}(u,v) = (\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, \sinh u), \quad u \geq 0, \,0 \leq v \leq 2\pi$$

Esta superficie no es acotado, pero si usted realmente desea, puede tratar de llegar a un tercio de la superficie de "pegamento" suavemente a la intersección de la hyperboloid con un plano horizontal, decir $z = 1$, para obtener una superficie limitada.

Creo que se entiende mi punto: tomar las superficies que usted conoce bien y que "el pegamento".

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Aha! Un buen volante es.

Desde otro ángulo:

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Edit: si lo hacemos girar esta superficie alrededor de un eje vertical, a continuación, obtenemos una superficie que no puede ser expresado a nivel mundial como $z = f(x,y)$ para algunos la función $f$. Sé que la imagen es horrible, pero soy estúpido con los ordenadores y no se puede hacer mejor que yo sólo quería dar la idea de aquí, las coincidencias son lisas.