¿Aplicaciones del Teorema del Residuo en análisis complejo?

Question

¿Alguien conoce las aplicaciones del Teorema del Residuo en análisis complejo? Me gustaría hacer un breve trabajo sobre el tema, pero no estoy segura por dónde empezar.

El teorema del residuo

El teorema del residuo, a veces llamado teorema del residuo de Cauchy (una de las muchas cosas nombradas en honor a Augustin-Louis Cauchy), es una herramienta poderosa para evaluar integrales de línea de funciones analíticas sobre curvas cerradas; a menudo se puede utilizar para calcular integrales reales también. Generaliza el teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy. Desde una perspectiva geométrica, es un caso especial del teorema generalizado de Stokes.

Ilustración del escenario

La declaración es la siguiente: Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo, y $a_1,\ldots,a_n$ son puntos finitos de $U$ y $f$ es una función que está definida y es holomorfa en $U\setminus\{a_1,\ldots,a_n\}$. Si $\gamma$ es una curva rectificable en $U$ que no se encuentra con ninguno de los $a_k$, y cuyo punto de inicio es igual a su punto final, entonces $$\oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n I(\gamma,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k)$$

Estoy segura de que muchos expertos en análisis complejo están muy familiarizados con este teorema. Solo esperaba que alguien pudiera iluminarme sobre sus muchas aplicaciones para mi trabajo. ¡Gracias!

Answer 1

Otro que como una herramienta fantástica para evaluar algunas integrales reales difíciles, las integrales complejas tienen muchos propósitos.

En primer lugar, las integrales de contorno se utilizan en Series de Laurent, generalizando las series de potencias reales.

El principio del argumento puede decirnos la diferencia entre los polos y las raíces de una función en el contorno cerrado $C$:

$$\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (\text{Número de Raíces}-\text{Número de Polos})$$

y esto se ha utilizado para demostrar muchos teoremas importantes, especialmente relacionados con los ceros de la función zeta de Riemann.

Observando que el residuo de $\pi \cot (\pi z)f(z)$ es $f(z)$ en todos los enteros. Utilizando un contorno cuadrado desplazado por los enteros por $\frac{1}{2}$, observamos que el contorno desaparece a medida que crece, y así

$$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) = -\pi \sum \operatorname{Res}\, \cot (\pi z)f(z)$$

donde los residuos están en los polos de $f$.

Aunque solo he mencionado algunos usos básicos, muchos, muchos otros existen.

Answer 2

Puedes encontrar cada aplicación concebible (y varias inverosímiles) del teorema de residuos en El método de residuos de Cauchy: teoría y aplicaciones de Mitrinović y Kečkić, Dordrecht, 1984 (ISBN: 9027716234).

Si eso no es suficiente, incluso hay un segundo volumen: El método de residuos de Cauchy: teoría y aplicaciones, Vol. 2 de los mismos autores, y editorial. Este fue publicado en 1993 (ISBN: 0792323114).

Amazon parece tener un libro de un solo volumen de los mismos autores y con un título muy similar, publicado en 2001 por Kluwer, pero no he visto esa versión exacta.

Answer 3

Ir al 11º página de este documento. Utiliza el cálculo de residuos para demostrar el resultado clásico de que $\sum_{i=1}^{\infty}1/n^{2} = \pi^{2}/6$. Además, deja las etapas fáciles del argumento para que las completes por ti mismo.

Answer 4

Aquí hay algunos que se me vienen a la mente.

1. Fórmula de Cauchy
2. Mostrando la existencia de series de Laurent y Taylor
3. Representación integral para coeficientes binomiales
4. A partir de lo anterior, la identidad del palo de hockey

Agregaré más cuando aprenda más.