Son todos finita de conjuntos cerrados?

Question

decir $X=\{a,b\}$ ser un conjunto. La siguiente es una topología en $X$.

$\tau=\{\{ a\}, \{a,b\}, \varnothing\}$

A continuación, $b$ es un punto límite de $a$, como abrir todos los conjuntos de $(\{a,b\})$ se cruzan $\{a\}$ en puntos distintos de $b$. Entonces ¿cómo es que todos los finita de conjuntos cerrados? Lo que estoy haciendo mal aquí!

Answer 1

Todos los conjuntos finitos en un $T_1$ espacio cerrado. Espacios como $\Bbb R^n$ son Hausdorff y, por tanto,$T_1$. Pero el espacio de Sierpinski (que sugieren) no es un $T_1$ espacio, y no por lo que cada conjunto finito no está cerrado.

Tenga en cuenta que si todos los finita de conjuntos cerrados, universalmente, a continuación, cada topología sobre un conjunto finito sería la topología discreta. Pero entonces la topología trivial, $\{X,\varnothing\}$ no sería una topología en cualquier país que no singleton conjunto finito.

Answer 2

Desde $\{b\}$ no está en la topología, por definición, no está abierto, y por lo tanto, su complemento, $\{a\}$, no está cerrado.

Answer 3

Está usted preguntando "¿cómo están todos finita de conjuntos cerrados" en este caso en particular? O se le proporciona un contador de ejemplo de por qué todos los conjuntos finitos no son cerradas. Bajo las condiciones adecuadas. Sé que es suficiente que requieren cada par de puntos en un espacio de $X$ han abierto los barrios que no contienen el otro (es decir, $X$ $T_1$ como fue mencionado por Asaf Karagila). Pero, para que su ejemplo no es el caso (como $b$ no tiene ningún conjunto abierto que no contenga $a$), y por eso no se puede asumir que todos los conjuntos finitos.