No entiendo Ejercicio 11.5 de Atiyah & MacDonald, que exige una elaboran o reformular Hilbert–Teorema de Serre (11.1) en términos del grupo de Grothendieck $K(A_0)$.
Aquí está el set-up en más detalle. $A$ es un conmutativa Noetherian gradual anillo, finitely generado como un álgebra sobre su grado-$0$ sumando $A_0$ por un número finito de elementos $x_j$ de grados $k_j > 0$. $\lambda$ es algún aditivo función de la clase de finitely generadas $A_0$-a los módulos de los enteros $\mathbb{Z}$ — campo no es presuntos implicados, por lo $\lambda$ no se considera la dimensión.
Para un finitely generado graduales $A$-módulo de $M$, la de Poincaré serie de $M$ con respecto al $\lambda$ es el poder de la serie
$$P_\lambda(M,t) := \sum \lambda(M_n) t^n \in \mathbb{Z}[[t]].$$
Si escribimos $q(t) = \prod (1 - t^{k_j})$ y calcular el recíproco $q^{-1}$ $q$ en el poder de la serie ring $\mathbb{Z}[[t]]$, luego el teorema es que
$$P_\lambda(M,t) \in q^{-1} \mathbb{Z}[t] \subset \mathbb{Z}[[t]];$$
es decir, la de Poincaré de la serie es en realidad sólo un polinomio veces el recíproco de $q$.
Bajo el libro de la definición, el grupo de Grothendieck $K(A_0)$ es el cociente de la libre abelian grupo en las clases de isomorfismo de finitely generadas $A_0$-módulos por el subgrupo generado por todos los elementos $[N] - [M] + [P]$ para el corto exacta de las secuencias de $0 \to N \to M \to P \to 0$ de tales módulos. Ninguna calificación se invoca en esta definición, y todos los finitely módulos generados se utilizan como generadores, y no meramente descriptiva o plana.
La pregunta, de nuevo, es cómo reformular el resultado en $P_\lambda(M,t)$ en términos de $K(A_0)$.
Mis intentos para decir algo con sentido, que han resultado ser insuficientes, siga.
En primer lugar, si definimos $K_{\mathrm{gr}}(A)$ a ser el gradual grupo de Grothendieck de $A$, lo que significa que sólo admiten a clases de isomorfismo de graduado $A$-módulos de generadores como en la anterior definición y grado de preservación de la $A$-módulo homomorphisms en la exacta secuencias que se utilizan para generar el subgrupo nos cociente, entonces parece claro, el uso de la suma de $\lambda$ sobre los sumandos $M_i$, $M \mapsto P_\lambda(M,t)$ induce un homomorphism de aditivo grupos $K_{\mathrm{gr}}(A) \to \mathbb{Z}[[t]]$ con valores en el mismo subgrupo $q^{-1} \mathbb{Z}[t]$ como antes.
Más aún, uno puede pasar de aditivo $\mathbb{Z}$valores de las funciones de $\lambda$ en la clase de finitely generadas $A_0$-a los módulos de grupo homomorphisms $l\colon K(A_0) \to \mathbb{Z}$, y decir que para cualquiera de dichas $l$, se puede definir un análogo de homomorphism $Q_l(-,t)\colon K_{\mathrm{gr}}(A) \to \mathbb{Z}[[t]]$, con la imagen como antes.
Esta reformulación no parece esclarecedor, aunque. Si realizamos $l$ una variable en esta expresión demasiado, obtenemos una función
$$Q\colon \mathrm{Hom}\big(K(A_0),\mathbb{Z}\big) \times K_{\mathrm{gr}}(A) \to q^{-1} \mathbb{Z}[t] \subset \mathbb{Z}[[t]].$$
Este se ve un poco diferente de la original, pero no es particularmente más interesante.
Por último, otra cosa que podemos hacer es factor de todos los $P_\lambda$ o $Q_l$ a través de la aditivo grupo $K(A_0)[[t]]$ para obtener una especie de "universal" de Poincaré de la serie, y tenga en cuenta que para todos los $l \in \mathrm{Hom}\big(K(A_0),\mathbb{Z}\big)$, la imagen se encuentra en (bueno, creo que es) $q^{-1} \mathbb{Z}[t]$. Me gustaría ser capaz de levantar el resultado sobre la imagen hasta el $K(A_0)[[t]]$, pero desde $K(A_0)$ por lo general no tiene una estructura de anillo, multiplicación y, por tanto, $q^{-1}$ no son aparentemente definidos en $K(A_0)[[t]]$. También podemos hacer $l$ una variable como antes.
Me cuesta creer que la respuesta podría ser algo tan insustancial.
Ahora, mirando en Eisenbud, me encontré que en el caso de que $A$ es un polinomio de anillo sobre un campo $k$$\lambda = \dim_k$, el graduado de Poincaré de la serie, si estoy replanteando correctamente, da un isomorfismo de $K_{\mathrm{gr}}(A)$ $q^{-1} \mathbb{Z}[t]$(y por lo tanto implica la existencia de un isomorfismo con $\mathbb{Z}[t]$). Que parece bastante sustancial. Sin embargo, no veo cómo las hipótesis en $A$ $\lambda$ tan amplia como la nuestra podría producir nada igualmente interesante.
Entonces, ¿qué suponen ustedes que están buscando aquí?
