Problema de teoría de números de la Olimpiada

Question

Encontré este problema en problemas anteriores de las olimpiadas de mi país

Si $t^2+n^2=r^2$ , donde $t$ tiene $3$ divisores positivos, $n$ tiene $30$ divisores positivos y $t,n,r$ son números naturales, encuentre la suma de todos los valores posibles de $t$

Lo intenté pero sólo lo resolví parcialmente, y realmente dudo que esta sea la mejor manera de hacerlo.

Mi progreso:

Primero, $t$ debe ser de la forma $p^2$ donde $p$ es primo

Entonces, usamos triples pitagóricos

Caso 1: $$t=p^2=2ab$$ $$n=a^2-b^2$$ Por lo tanto, $p$ debe ser $2$ Por lo tanto $a=2, b=1$ pero esto no satisface $n$ teniendo $30$ divisores.

Caso 2: $$t=p^2=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ $$n=2ab$$ Desde $p$ es primo, obtenemos $a=b+1$ Por lo tanto $$p^2=2b+1$$ $$n=2(b+1)b$$ Si $n$ tiene $30$ divisores, debe ser de una de las formas $$q^{29},r^{14}q,r^{9}q^2,r^4q^5,r^4q^2s$$ Donde $r,q,s$ son diferentes primos

Desde $p$ es impar, $p^2=8k+1=2b+1$ , $b=4k$ para algún número entero $k$

Caso 2.1 $$8k(4k+1)=r^{29}\implies 4k(4k+1)=2^{28}$$ Eso es claramente imposible

Caso 2.2 $$8k(8k+1)=r^{14}q\implies r=2$$

$$4k(4k+1)=2^{13}q$$ $$\implies 4k=2^{13} \implies q=4k+1=2^{13}+1=3×2731$$

Caso 2.3 $$8k(4k+1)=r^9q^2\implies r=2$$ $$8k(4k+1)=2^9q^2$$ $$4k(4k+1)=2^8q^2$$ $$\implies 4k=2^8\implies q^2=4k+1=256+1=257$$

Caso 2.4 $$8k(4k+1)=r^4q^5$$ Caso 2.4.1( $r=2$ ) $$4k(4k+1)=2^3q^5$$ $$\implies 4k=8\implies q^5=4k+1=8+1=9$$ Caso 2.4.2( $q=2$ ) $$4k(4k+1)=r^42^4$$ $$\implies 4k=16\implies r^4=4k+1=16+1=17$$

Caso 2.5 $$8k(4k+1)=r^4q^2s\implies r=2$$ $$8k(4k+1)=16q^2s$$ $$8k(8k+2)=32q^2s$$ $$(p-1)(p+1)=32q^2s$$ $$p^2-1=32q^2s$$ Donde todos $p,q,s$ son primos Impares

La pregunta ahora es: ¿cómo proceder a partir de aquí? ¿Había una manera más fácil de resolver esto?

Answer 1

Empecemos como tú. Asumiré que $t$ , $n$ y $r$ son coprimos. Entonces $t=a^2-b^2$ y $n=2ab$ . Véase la respuesta de André Nicolas para el caso en que $t$ , $n$ y $r$ no son coprimas.

Lo entendemos. \begin{align*} p^2 &= 2b+1,\\ n &= 2(b+1)b. \end{align*} Por lo tanto, $$n = \frac{p^4-1}{2} = (p-1) \times (p+1) \times \frac{p^2+1}{2}.$$ Obsérvese que todo número primo $a \neq 2$ divide como máximo uno de los términos $(p-1)$ , $(p+1)$ y $\frac{p^2+1}{2}$ .

Si ninguno de estos términos es una potencia de 2, entonces $n$ tiene al menos $4$ factores primos: 2, un divisor primo de $p-1$ (distinto de 2), un divisor primo de $p+1$ (distinto de 2), un divisor primo de $\frac{p^2+1}{2}$ . Esto es imposible ya que $n$ tiene 30 divisores.

Concluimos que uno de los números $p-1$ , $p+1$ , $\frac{p^2+1}{2}$ es una potencia de 2. Tenga en cuenta que $\frac{p^2+1}{2}$ es impar. Por lo tanto, o bien $p-1$ o $p+1$ es una potencia de 2.

Tenga en cuenta que entonces $n$ tiene 3 factores primos: 2, un divisor primo de $p-1$ o $p+1$ (distinto de 2), un divisor primo de $\frac{p^2+1}{2}$ . Así que debe ser el caso que $n=r^4 q^2 s$ . Desde $n = (p^4-1)/2$ es divisible por 8, tenemos que $r=2$ .

Consideremos dos casos

1. $p-1$ es una potencia de 2. Obsérvese que $p\neq 3$ . Entonces $p+1$ es divisible por 2 pero no por 4. Tenemos $p - 1 = 8$ y $p=9$ . Entonces $n=3280$ . Pero $3280$ tiene 20 factores.
2. $p+1$ es una potencia de $2$ . Entonces $p-1$ es divisible por 2 pero no por 4. Tenemos $p + 1 = 8$ y $p=7$ . Entonces $n = 1200$ . Comprobamos que 1200 tiene 30 factores.

Respuesta: $t=49$ , $n =1200$ y $r=1201$ .

Answer 2

Añadimos un poco al análisis de Yury. Podría ser que $a^2-b^2=p$ El tramo impar de nuestro triple es $p(a^2-b^2)$ y el tramo par $p(2ab)$ , donde $(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)$ es un triple primitivo.

Entonces $2ab$ debe tener $15$ divisores. Eso deja muy pocos casos, ya que la potencia de $2$ que divide el par de $a$ y $b$ debe ser $2^1$ , $2^3$ o $2^{13}$ . El impar entonces debe ser $q^4$ , $q^2$ o $1$ , donde $q$ es primo. Un poco de tonteo muestra que necesitamos $b=8$ y por lo tanto $a=9$ .

Así obtenemos la solución $t=17^2$ , $n=(17)(144)$