Si $f$ es medible por Lebesgue en $[0,1]$ entonces existe una función medible de Borel $g$ tal que $f=g$ ¿e?

Question

Si $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es medible por Lebesgue entonces existe una función medible por Borel $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $f=g$ ¿a.e.?

Answer 1

Sí. Por el teorema de Lusin, para cada $\varepsilon > 0$ hay un continuo $f_\varepsilon$ tal que la medida de $\{x : f(x) \neq f_\varepsilon(x)\}$ es menor que $\varepsilon$ .

Dejemos que $g_n$ una secuencia de funciones continuas con $\lambda(\{x : f(x) \neq g_n(x)\}) < 2^{-n}$ . Como la suma de las medidas es finita, casi todas las $x$ se encuentra a lo sumo en un número finito de conjuntos excepcionales, por lo que $g_n \to f$ casi en todas partes. La función $g(x) = \limsup_{n\to\infty} g_n(x)$ es medible por Borel, y $g = f$ casi en todas partes.

Answer 2

Observe que:

• Al descomponer $f$ en partes positivas y negativas podemos suponer que $f$ es no negativo en todas partes
• Para que una función de valor real no negativo sea medible por Borel es suficiente que la preimagen de cada rayo de la forma $(q, \infty)$ para $q$ racional sea Borel
• Todo conjunto medible de Lebesgue es la unión disjunta de un $F_{\sigma}$ y un conjunto nulo

Con estas observaciones, la construcción es sencilla. Sea $f$ sea medible por Lebesgue y no negativo. Sea $U_q$ sea la preimagen de $(q, \infty)$ en $f$ y que $F_q$ ser un $F_{\sigma}$ conjunto de medida completa contenida en $U_q$ . Dejemos que $g$ Estoy de acuerdo con $f$ en todas partes, excepto en aquellos puntos que no pertenecen a ninguno de los $F_q$ donde podemos tomar $g$ sea cero.