Si $\gcd( a, b ) = 1$, entonces es válido decir $\gcd( ac, bc ) = c$?

Question

Traté de demostrar este teorema, pero estoy realmente confundido acerca de su exactitud.
Digamos

$$\gcd( a, b ) = 1 \Rightarrow am + bn = 1 \text{ where } m, n\in\mathbb Z$$

A continuación, multiplicando ambos lados por $c$, tenemos: $amc + bnc = c$. A partir de aquí, es suficiente decir $c = \gcd( ac, bc )$?
Siento que esta prueba de necesidades de algunos de los más explicación, pero yo no puedo pensar en nadie. Alguna idea?

Gracias,

Answer 1

Lo que han demostrado es que no es una combinación lineal de $ac$ $bc$ que es igual a $c$. Ahora, para cualquier $x$, $y$, el mcd de a $x$ $y$ divide cualquier combinación lineal de $x$$y$. En este caso, esto significa que el mcd de a $ac$ $bc$ divide $c$.

Usted está casi listo, pero también es necesario argumentar que $c$ divide el mcd de a$ac$$bc$, para la conclusión de la igualdad (si $z$ $w$ son positivas, y $z$ divide $w$, e $w$ divide $z$, entonces son iguales).

Pero, cualquier combinación lineal de $ac$ $bc$ es (obviamente) un múltiplo de $c$ desde $c$ divide tanto a a$ac$$bc$. De modo que en realidad hace.

Answer 2

Es el caso especial $\rm\ (a,b) = 1\ $ de los siguientes distributiva de la ley para la GCDs

LEMA $\rm\quad (a,b)\ =\ (ac,bc)/c$

Prueba de $\rm\quad\ d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c$

El de arriba tiene más en general, en cualquier dominio mientras $\rm\ (ac,bc)\ $ existe. Ver mi post aquí para obtener más información sobre esta propiedad y su relación con Euclides del Lexema.

Answer 3

Generalmente, $a$ $b$ puede ser presentado como $a=a_{0}^{n_1} \cdot a_{1}^{n_2} \cdots a_{N}^{n_N}$ $b=b_{0}^{m_1} \cdot b_{1}^{m_2} \cdots b_{M}^{m_M}$ donde $a_0 \cdots a_N$ $b_0 \cdots b_M$ son primos divisores de $a$ $b$ respectivamente, y $n_1 \cdots n_N$ $m_1 \cdots m_M$ son respectivo primer poderes.

Si $gcd(a,b)=1$ $a$ $b$ no tiene divisores primos comunes: $\forall i,j: a_i \ne b_j$. Cuando se multiplican tanto en$a$$b$$c$, conjuntos de $a_0 \cdots a_N$ $b_0 \cdots b_M$ son actualizados por el primer divisores de $c$: $c_0 \cdots c_P$ si no existe, o conjuntos de poder se actualizan si algunos primos divisores ya existía. Desde $gcd(ac,bc)$ sólo se compone de primos comunes divisores de $ac$$bc$, y dado que la única primos comunes divisores que tienen son $c=c_{0}^{p_1} \cdot c_{1}^{p_2} \cdots c_{P}^{p_P}$, $gcd(ac, bc)$ es igual a $c$.

Answer 4

Desde $\gcd(a,b)=1$, existen dos enteros $x$ $y$ tal que $ax+by=1$.

Ahora, $acx+bcy=c$.

De ello se desprende que $\gcd(ac,bc)=c.$