¿Cuándo $\det e^A=e^{\det A}?$

Question

Que $2\times 2$ las matrices satisfacen la ecuación $$\det e^A=e^{\det A}?$$

Sé que $\det e^A=e^{\operatorname{trace}A}$ así que asumiendo $A$ es real obtenemos $$\operatorname{trace}A=\det A.$$ Entonces, $$\det(A-\lambda I)=\lambda^2-2\operatorname{trace}(A)\lambda+\det(A)=(\lambda-\det(A))^2$$ por lo que el único valor propio es $$\lambda=\det(A)=\operatorname{trace}A.$$ Por lo tanto, $$\operatorname{trace}A=2\lambda=2\operatorname{trace}A\implies\operatorname{trace}A=\det A=0.$$ Escriba $$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$$ para que $\operatorname{trace}A=0$ ya se tiene en cuenta. Entonces, $$\det A=-a^2-bc=0$$ así que $a^2=-bc$ . Así, $$A=\begin{pmatrix}\sqrt{-bc}&b\\c&-\sqrt{-bc}\end{pmatrix}$$ ¿Es el fin de la solución?

Answer 1

La condición $\lambda_1 + \lambda_2 = \lambda_1 \lambda_2$ puede escribirse como $(\lambda_1 - 1)(\lambda_2 - 1) = 1$ . Así, el par de valores propios $(\lambda_1, \lambda_2)$ si son reales, están en una hipérbola en la $\lambda_1,\lambda_2$ plano. También tiene soluciones en las que $(\lambda_1, \lambda_2)$ son un par de complejos conjugados $\alpha \pm i \beta$ , donde $(\alpha - 1)^2 + \beta^2 = 1$ (esto describe un círculo en el $\alpha, \beta$ plano). Un ejemplo de matriz real con los valores propios reales $\lambda_1, \lambda_2$ es $$ \pmatrix{\lambda_1 & 0\cr 0 & \lambda_2\cr}$$ Un ejemplo de matriz real con los valores propios complejos $\alpha \pm i \beta$ es $$ \pmatrix{0 & -\alpha^2 - \beta^2\cr 1 & 2\alpha}$$ Por supuesto que se puede tomar cualquier cosa similar a una de estas, así que se multiplica por $S$ a la izquierda y $S^{-1}$ a la derecha, donde $S$ es cualquier invertible $2 \times 2$ matriz.

Answer 2

Según la ecuación $\det(A)=\mathrm{trace}(A)$ por lo que si $\lambda_1,\lambda_2$ son los valores propios de $A$ así que $$ \lambda_1\lambda_2=\lambda_1+\lambda_2 $$ Entonces $$ \lambda_1=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-1} $$ Así que $\sigma(A)=\{t,\frac{t}{t-1} \}$ si $t\in\mathbb{R}-\{0,2\}$ $A$ será diagonalizable y $A=PDP^{-1}$ donde $P$ es cualquier matriz invertible y $D=\mathrm{Diag}(t,\frac{t}{t-1})$

Si $t=0$ o $t=2$ podemos utilizar la forma normal de Jordan para escribir : $$ A=PJ_0P^{-1} \qquad \qquad \textrm{ Or } \qquad A=PJ_2P^{-1} $$