Esperanza condicional de (máximo) $E(X_1\mid X_{(n)})$

Question

Deje $X_1, \ldots, X_n$ de una muestra aleatoria de un Uniforme(0,1):

Que es $E(X_1\mid X_{(n)})$ ?

donde $X_{(n)}=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$

Answer 1

Deje $Y$ ser el índice del valor máximo: $X_Y=X_{(n)}$ (en el caso de los lazos es de importancia secundaria, tiene probabilidad cero). Deje $Z=X_{(n)}$

Entonces

$$E(X_1,\mediados de Z ,Y) = \begin{cases} Z & \text{ if } Y=1 \\ \frac{1}{2}Z & \text{ elsewhere} \\ \end{casos} $$

Entonces, aplicando el reiterado de las expectativas de los bienes, y debido a $P(Y=k)=1/n$:

$$E(X_1\mid Z)=E( E(X_1\mid Z , Y))=\frac{1}{n}Z+ \frac{n-1}{n}\frac{Z}{2} = \frac{n+1}{n}\frac{Z}{2} $$

Answer 2

Buscas $E(X_1\mid \max)$. La probabilidad de que $X_1=\max$$1/n$. Así $$ E(X_1,\mid \max) = \frac 1 n E(X_1,\mediados de X_1=\max \max) + \frac{n-1} n E(X_1,\mediados de X_1\ne \max \max). $$ El primer término es fácil de encontrar: $E(X_1\mid X_1=\max,\max) = \max$, por lo que tenemos $$ E(X_1,\mid \max) = \frac 1 n \max + \frac{n-1} n E(X_1,\mediados de X_1\ne \max \max). $$ Entonces usted necesita mostrar que la distribución condicional de $X_1$ $\max$ y dado el caso de que $X_1\ne\max$ es uniforme en el intervalo de$0$$\max$.