Cómo integrar la $\int_{0}^{\infty }{\frac{\sin x}{\cosh x+\cos x}\cdot \frac{{{x}^{n}}}{n!}\text{d}x} $

Question

Yo he hecho uno con $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}\text{d}x$...Pero no tengo ideas con estos :< $$\begin{align*} & \int_{0}^{\infty }{\frac{\sin x}{\cosh x+\cos x}\cdot \frac{{{x}^{n}}}{n!}\text{d}x} \\ & \int_{0}^{\infty }{\frac{x-\sin x}{\left( {{\pi }^{2}}+{{x}^{2}} \right){{x}^{3}}}\text{d}x} \\ \end{align*}$$

Answer 1

Puedo dirigirme a la segunda integral:

$$\int_{0}^{\infty }{dx \: \frac{x-\sin x}{\left( {{\pi }^{2}}+{{x}^{2}} \right){{x}^{3}}}}$$

Sugerencia: podemos utilizar el Teorema de Parseval

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \: f(x) \bar{g}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \: \hat{f}(k) \bar{\hat{g}}(k) $$

donde $f$ $\hat{f}$ son la transformada de Fourier de pares, y lo mismo $g$$\bar{g}$. Los PIES de $1/(x^2+\pi^2)$ es fácil, así que necesitamos a los PIES de el resto de el integrando, que resulta ser posible.

Definir

$$\hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \: f(x) e^{i k x} $$

Es sencillo mostrar mediante el Teorema de los Residuos que, al $f(x) = (x^2+a^2)^{-1}$, luego

$$\hat{f}(k) = \frac{\pi}{a} e^{-a |k|} $$

Por lo tanto tenemos que calcular, al $g(x) = (x-\sin{x})/x^3$,

$$\begin{align} \hat{g}(k) &= \int_{-\infty}^{\infty} dx \: \frac{x-\sin{x}}{x^3} e^{i k x} \\ &= \frac{\pi}{2}(k^2-2 |k|+1) \mathrm{rect}(k/2) \\ \end{align}$$

donde

$$\mathrm{rect}(k) = \begin{cases} 1 & |k|<\frac{1}{2} \\ 0 & |k|>\frac{1}{2} \end{cases} $$

Entonces podemos escribir, usando el teorema de Parseval,

$$\begin{align} \int_{0}^{\infty }{dx \: \frac{x-\sin x}{\left( {{\pi }^{2}}+{{x}^{2}} \right){{x}^{3}}}} &= \frac{1}{8} \int_{-1}^1 dk \: (k^2-2 |k|+1) e^{-\pi |k|} \\ &= \frac{\left(2-2 \pi +\pi ^2\right)}{4 \pi ^3}-\frac{ e^{-\pi }}{2 \pi ^3} \\ \end{align}$$

NOTA

Derivando $\hat{g}(k)$ a partir de cero es difícil; sin embargo, es muy sencillo (aunque, un poco sucio) para demostrar que la expresión es correcta mediante la realización de la inversa de la transformación en $\hat{g}(k)$ obtener $g(x)$. Yo hice esto y lo demostró a mí mismo; me pueden proporcionar los detalles para aquellos que quieren ver.

Answer 2

Arce dice $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x - \operatorname{pecado} (x)}{\bigl(\pi^{2} + x^{2}\bigr) x^{3}} d x = \frac{2 \operatorname{sinh} (\pi) - 2 \pi - 2 \operatorname{cosh} (\pi) + \pi^{2} + 2}{4 \pi^{3}} \aprox 0.04434578936 $$ pero no hizo automáticamente la primera