Puede una multiplicar-periódico compleja función analítica?

Question

Es posible construir el complejo de funciones periódicas con dos períodos en diferentes direcciones, como $f(z) = \cos x + i \sin 2y$. Que tiene períodos de $2\pi$$\pi i$. Además no es analítica.

Ha sido un largo tiempo desde variables complejas, y que se auto-estudio, así que estoy muy probablemente bajo el pensamiento de esto, pero...¿hay alguna analítica de la función con dos linealmente independientes de los periodos?

No considero constante funciones como correctamente periódico, ya que no hay período mínimo...pero no estoy seguro de si esa actitud es la corriente principal.

Answer 1

Un complejo continuo de la función con dos períodos paralelos sería globalmente limitada (ya que cada valor es el mismo que el valor en algún lugar en un paralelogramo fundamental, que es compacto).

Por el teorema de Liouville , esto significa que es constante o no-analítica.

Si permite a los polos, un doble-función periódica es posible; dichas funciones se conocen como funciones elípticas, y hay un poco de teoría acerca de ellos.

Answer 2

trate de una simple función de un tipo introducido por Weierstrass:

$$ f(z)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \setminus\{(0,0)\}} \left( \frac1{(z+m +en)^2}-\frac1{(m +a)^2} \right) $$ este tiene polos en el entramado de los enteros de Gauss, pero es lo contrario se comporta bien, y evidentemente tiene períodos 1 y $i$.

si una doble función periódica no tenía los polacos, que tendría que ser constante, ya que la periodicidad obligaría acotamiento, y un almacén de toda la función es constante.