Caracterización de la distribución normal

Question

Lo siento si esta pregunta es vago ya que estoy completamente familiarizado con la teoría de la probabilidad.

Supongamos que tenemos una familia real de los valores de las variables aleatorias $X_n$ (es decir, todos ellos tienen media 0) en una cierta probabilidad de espacio y nos gustaría mostrar que $X_n$ converge a Gaussiano débilmente.

¿Qué son los estándares generales de las técnicas de demostrar la convergencia de Gauss distribución?

Soy consciente de los dos siguientes:

• Momentos. Compruebe que $E[X_n^k]$ converge a la $k$-ésimo momento de Gauss para todos los $k \in \mathbb{N}$.
• Trabajar con funciones características en su lugar. Este parece ser el método para demostrar, por ejemplo, el clásico teorema del límite central.
• Stein método también parece ser común en la práctica en estos días, aunque no estoy seguro de si esto es un verdadero caballo de batalla en la teoría de la probabilidad.

y yo sólo quiero saber si esto es lo que la gente suele acercarse a este en la teoría de la probabilidad, o hay algunos otros enfoques generales así.

A lo largo de la misma línea, también quiero saber acerca de las técnicas de mostrar la convergencia de las complejas variables aleatorias para el complejo de Gauss. Esto probablemente puede ser reducida a la de un caso real mediante la separación de la real/complejo de la parte y la comprobación de su covarianza, pero sería curioso saber si hay alguna manera uniforme de ver esto.

Gracias!

Answer 1

Creo que los tres métodos mencionados bastante cubierta.

Sin embargo, me gustaría hacer hincapié en que Stein método es, para usar sus términos, un verdadero caballo de batalla en la teoría de la probabilidad, especialmente en geometría estocástica. Hay dos ventajas Stein método:

• Da las tasas de convergencia. Por ejemplo, la Baya-Essen teorema que establece que si $(X_{i})$ son iid variables con finito tercera momentos, $S_{n}=n^{-1/2}\sum^{n}_{i=0}X_{i}$ $N$ ha centrado en la reducción de la distribución normal, a continuación, \begin{equation*} \sup_{x\in\mathbb{R}} \mathbb{P}(S_{n}\leqslant x) - \mathbb{P}(N\leqslant x) \leqslant C\mathbb{E}(|X|^{3}) n^{-1/2} \end{ecuación*} donde $C$ es una constante universal. Esto es muy difícil de probar con funciones características (el artículo original de la Baya y Esseen lo hace), pero es muy fácil con Stein método.
• Es muy robusto, en el sentido de que todavía funciona bastante bien en el caso de que $X_{n}$ no se plantea como una suma de variables independientes. Esto es especialmente útil en la geometría estocástica. Se dan muchos ejemplos en la siguiente introducción a Stein método.

Sigo siendo bastante satisfecho con todos estos métodos de la prueba de la convergencia a la ley normal: todos parecen abordar el problema de manera indirecta y en mi opinión no ayuda a entender qué es lo que hace la ley normal una distribución que aparece en todas partes, donde una suma de (más o menos) de las variables independientes se produce.

No tengo ninguna respuesta satisfactoria por su pregunta sobre el complejo de Gauss.