Producto de espacios conectados a Prueba de

Question

Yo estoy trabajando en el "iff"-relación dada por:

$X=\prod_{i\in I}X_i$ está conectado iff cada una de las $X_i$ no vacío está conectado para todas las $i\in I$.

Yo podría demostrar el "$\Rightarrow$"-dirección muy easyly. También demostró que un producto finito de espacios conectados está conectado. Ahora quiero probar lo siguiente:

• Elija $z=(z_i)\in\prod_{i\in I}X_i$. Para cada subconjunto finito $J\subset I$ es el conjunto $X_J:=\left\{x\in X:x_i=z_i\ \forall I-J\right\}$ conectado.

Me han dado la siguiente prueba: Este set es homeomórficos con un número finito de producto $\prod_{j\in J}X_j$ dada por el mapa definido por: $x=(x_j)_{j\in J}$ asignado en $y=(y_i)_{i\in I}$ tal que $y_j=x_j$ si $j\in J$ $y_j=z_j$ si $j\notin J$. Esta asignación es continua e inyectiva (y también a la inversa es continua, ya que es el mapa de proyección). Pero sabemos que $X_J$ está conectado, ya que cada finito producto está conectado (si los componentes están conectados).

Es esto una prueba de la correcta? La única cosa que tengo que probar ahora es que $Y=\cup_{J\subset I,J\ finite}X_J$ es denso en X. ¿Cómo puedo hacer eso? Alguien puede ayudarme? Gracias

Answer 1

Lo que hemos hecho hasta ahora se ve bien. Como se nota de forma correcta, es suficiente para mostrar que el conjunto de $Y=\bigcup_{J⊂I, J\text{ finite}}X_J$, lo que también puede ser descrito como $\{y\in X;\ y(i)=z(i)\textrm{ for almost all }i\in I\}$ es densa, ya que eso significa que $X=\overline Y$, y es por lo tanto conectados, siendo el cierre de la conexión de establecer $Y$. Para ello, vamos a $U=p^{-1}_{j_1}(U_{j_1})\cap\dots\cap p^{-1}_{j_n}(U_{j_n})$ ser un conjunto de base. Ahora elija un $y$ tal que $y(j)=p_j(y)\in U_j\ \forall j\in\{j_1,\dots,j_n\}$ e lo contrario $y(i)=z(i)$. A continuación, $y\in Y\cap U.$