Yo no veo nada de circular en la comparación de áreas, para obtener la desigualdad $\sin x < x < \tan x$$0 < x < \pi/2$. Sin embargo, debemos ser muy cautelosos en la definición de los símbolos $\sin x, \tan x$ correctamente determinado $x$ un número real.
El enfoque basado en las áreas de va como esta. Utilizando el concepto de integrales definidas se puede probar que un sector de un círculo tiene un área. Esto no requiere de nada más allá de la continuidad de la función $\sqrt{1 - x^{2}}$ en el intervalo de $[0, 1]$. En particular, la justificación de que el área de un círculo no es dependiente de la definición de las funciones trigonométricas y $\pi$.
El próximo considerar la posibilidad de un círculo unitario con origen $O$ como centro y deje $A$ ser el punto de $(1, 0)$. Deje $P$ ser cualquier punto en el círculo. Para nuestros propósitos es suficiente para considerar $P$ a en el primer cuadrante. Deje que el área del sector de la $AOP$$y$, de modo que $y > 0$. También vamos a $x = 2y$ y, a continuación, por definición, el punto de $P$$(\cos x, \sin x)$. Esta es la definición habitual de las funciones trigonométricas como el estudiado, a la edad de 15 años o así.
Tenga en cuenta que algunos libros de texto de la base de la definición de $\sin x, \cos x$ sobre la base de la longitud del arco de $AP$$x$. La definición es equivalente a la que se basa en las áreas de los sectores, pero comparando las áreas de las figuras es más simple que la comparación de la longitud de los arcos (al menos en este contexto). Considerar la tangente $AT$ a de la unidad de círculo en el punto de $A$ tal que $OPT$ es un segmento de línea. También vamos a $PB$ ser una perpendicular a $OA$ $B$ es el pie de esta perpendicular. Ahora es fácil mostrar que $$\text {area of }\Delta AOP < \text{ area of sector }AOP < \text{ area of }\Delta AOT$$ (because each region is contained in the next). However it is very difficult to compare the length of arc $AP$ with the length of line segments $PB$ and $$ (porque no hay contención aquí).
La desigualdad anterior conduce a $$\sin x < x < \tan x$$ from which we get $\el pecado x \to 0$ as $x \to 0$ and then $\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2}x} \1$. Further the inequality is equivalent to $$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$ and hence $(\sen x)/x \a 1$ as $x \to 0$.
Actualización: parece Que a partir de OP comentarios de que la relación entre la longitud de un arco de un círculo y el área de sector correspondiente, es algo que no puede ser probado sin el uso de cualquier analítica de las propiedades de las funciones circulares. Sin embargo, este no es el caso.
Deje $P = (a, b)$ ser un punto en el círculo unitario $x^{2} + y^{2} = 1$ y deje $A = (1, 0)$. Por simplicidad consideremos $P$ en el primer cuadrante, de modo que $a, b$ son positivos. Entonces la longitud del arco de $AP$ está dado por $$L = \int_{a}^{1}\sqrt{1 + y'^{2}}\,dx = \int_{a}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$ The area of the sector $AOP$ is given by $$A = \frac{ab}{2} + \int_{a}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx$$ We need to prove that $L = 2A$. We will do this using the fact that $b = \sqrt{1 - a^{2}}$ y usando integración por partes.
Tenemos
\begin{align}
\int\sqrt{1 - x^{2}}\,dx &= x\sqrt{1 - x^{2}} - \int x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx\notag\\
&= x\sqrt{1 - x^{2}} - \int \frac{1 - x^{2} - 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx\notag\\
&= x\sqrt{1 - x^{2}} - \int \sqrt{1 - x^{2}}\,dx + \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx\notag\\
\Rightarrow \int\sqrt{1 - x^{2}}\,dx &= \frac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}\notag\\
\end{align}
Por lo tanto $$\int_{a}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx = - \frac{a\sqrt{1 - a^{2}}}{2} + \frac{1}{2}\int_{a}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$ or $$\int_{a}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2\left(\frac{ab}{2} + \int_{a}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx\right)$$ or $L = 2A$ que iba a ser probado.
El contraste de la anterior prueba de la relación entre la longitud y el área con la siguiente totalmente no-pruebas rigurosas. Deje que la longitud del arco de $AP$$L$. A continuación, el ángulo subtendido en el centro es $L$ (definición de radián medida). Dividir un ángulo en $n$ partes de medida $L/n$ cada uno y, a continuación, la zona de sector $AOP$ es la suma de las áreas de estos $n$ sectores. Si $n$ es grande, entonces el área de cada uno de estos $n$ sectores se puede aproximar por el área de los correspondientes de triángulos y esta área es $$\frac{1}{2}\sin (L/n)$$ so that the area of the whole sector $AOP$ is $(n/2)\sin(L/n)$. As $n \to \infty$ this becomes $L/2$ and here we need the analytic property of $\sin x$ namely $(\sin x)/x \a 1$ as $x \to 0$. Therefore area can't be the basis of a proof of this limit. This is perhaps the reason that proofs for limit formula $(\sen x)/x \a 1$ se ve circular.
Una adecuada prueba no puede realizarse sin las integrales como he mostrado anteriormente. De ahí la prueba de que $(\sin x)/x \to 1$ depende de Riemann de la integración y definición de $\sin x, \cos x$ como inversos a los de las integrales. Esto es lo mismo que $e^{x}$ se define como la inversa de la integral de $1/x$.
Véase también mi otra respuesta a una pregunta similar.
