Se trata de una clásica resultado de que cada extensión de $\mathbb{Q}$ es ramificado. Dicho de otra manera: no hay unramified extensiones de $\mathbb{Q}$. La clásica prueba de la siguiente manera a partir de las siguientes dos afirmaciones:
(a) El único campo de número de tener discriminante $1$ $\mathbb{Q}$ sí.
(b) Un número primo $p$ ramifies en un campo de número de $K$ si y sólo si es un divisor del discriminante $\Delta_K$.
Es posible argumentar algo similar para $\mathbb{Q}(i)$? El objetivo de mi pregunta es para la construcción de un ejemplo de un Hilbert Campo de Clase sin atractivo (todavía) a de Reciprocidad de Artin.
El uso de Reciprocidad de Artin, uno tiene que $Gal(L/\mathbb{Q}) \cong Cl(\mathbb{Q})$ donde $L$ es la de Hilbert Campo de la Clase de $K=\mathbb{Q}$. Ahora, debido a $\mathbb{Z}$ es un PID, el grupo de clase se convierte en algo trivial, y tenemos que $L=\mathbb{Q}$. Desde $L$ es, por definición, la máxima unramified abelian extensión de $K=\mathbb{Q}$, esto implica que no hay unramified extensiones de $\mathbb{Q}$. Repitiendo el argumento (y la observación de que $\mathbb{Z}[i]$ es un PID), se deduce que la de Hilbert Campo de la Clase de $K=\mathbb{Q}(i)$$L=\mathbb{Q}(i)$. Pero esto sólo significa que $\mathbb{Q}(i)$ no tiene unramified extensiones.
Sin embargo, me gustaría tener una prueba de scratch, que sostiene que la $\mathbb{Q}(i)$ no tiene unramified extensiones.
EDIT: Mi pregunta parece estar relacionado con este MO post pero estoy teniendo problemas para seguir el argumento de allí.
