Cualquier espacio Eilenberg-MacLane $K(A,n)$ para los abelianos $A$ puede recibir la estructura de un $H$ -espacio levantando la adición en $A$ a un mapa continuo $K(A\times A,n)=K(A,n)\times K(A,n)\to K(A,n)$ .
¿Alguien conoce una forma explícita de describir esta estructura en los casos $K({\mathbb Z}/2{\mathbb Z},1)={\mathbb R}P^\infty$ y $K({\mathbb Z},2)={\mathbb C}P^{\infty}$ ?
Ver el $\mathbb R^\infty\setminus 0$ como el espacio de la no-cero polinomios, que se puede multiplicar. De paso al cociente de construir el espacio proyectivo y, a partir de la multiplicación, su $H$-espacio de producto.
El caso complejo es el mismo.
NB: Jason le pregunta en un comentario a continuación si este es el mismo $H$-estructura de espacio que Hanno tenía en mente. Para comprobarlo, podemos utilizar el hecho de que Hanno se caracteriza por el hecho de que si $\mu:K(\mathbb Z_2,1)\times K(\mathbb Z_2,1)\to K(\mathbb Z_2,1)$ es su producto y $\alpha\in H^1(K(\mathbb Z_2,1), \mathbb Z_2)$ es la clase representada por identificar el mapa de $K(\mathbb Z_2,1)\to K(\mathbb Z_2,1)$,$\mu^\*(\alpha)=\alpha\times 1+1\times\alpha$. Uno debe ser capaz de comprobar que esto tiene para el mapa dada por la multiplicación de polinomios en un pequeño esqueleto.
También hay una forma diferente de anotar el $H$ -que me gusta por su sabor algebro-geométrico. (Hablaré de $\mathbb{C}P^\infty$ aquí, y $\mathbb{R}P^\infty$ debería ser análogo).
En cuanto a $\mathbb{C}P^\infty$ como espacio clasificador de haces de líneas complejas, sabemos que este $H$ -La estructura del espacio se supone que implementa el "producto tensorial de haces de líneas". En un sentido (no muy explícito) esto nos dice la clase de homotopía de $\mathbb{C}P^\infty \times \mathbb{C}P^\infty \to \mathbb{C}P^\infty$ : Representa el haz de líneas $\mathcal{O}(1,1) = p_1^* \mathcal{O}(1) \otimes p_2^* \mathcal{O}(1)$ . Podemos utilizar esta descripción para escribir un representante mucho más explícito (y clásico).
En primer lugar, recordemos cómo es la imagen análoga para los espacios proyectivos finitos. El haz de líneas $\mathcal{O}(1,1)$ determina (al elegir las secciones generadoras) el Mapa del Segre $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{C}P^m \to \mathbb{C}P^{nm+n+m}$ que toma (en coordenadas homogéneas)
$([X_0:\ldots:X_n] , [Y_0:\ldots:Y_m]) \mapsto[X_0 Y_0: \ldots : X_i Y_j: \ldots: X_n Y_m]$
donde he decidido ser impreciso en el orden preciso de las coordenadas. (Al final esto no importará hasta la homotopía, ya que los mapas se convertirán en homotópicos al componer con $\mathbb{C}P^{nm+n+m} \hookrightarrow \mathbb{C}P^\infty$ .)
La fórmula análoga con infinitas coordenadas homogéneas tiene el mismo sentido, sólo hay que ordenar bien los pares de enteros no negativos. Tal mapa de Segre infinito da otra realización del $H$ -estructura espacial.
Juan Báez tiene una buena exposición de la página acerca de este llamado a la Clasificación de los espacios fácil. Alrededor de dos tercios de la página habla de estructura multiplicativa en $\mathbb{C}P^\infty$
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