Yo en lo sucesivo asuma $\hbar=1$. La correcta manera de pensar de la ecuación de Schroedinger en un espacio de Hilbert $\cal H$ (refiriéndose a un auto adjunto de Hamilton $H : D(H) \to \cal H$, $D(H)\subset \cal H$ un subespacio denso) es aquella en la que el tiempo derivativo se refiere a la topología del espacio de Hilbert (como bien notó en el inicio de la publicación de la pregunta):
$$\frac{d}{dt} \psi_t = -i H \psi_t\tag{1}\:.$$
Por encima de $\psi_t := e^{-itH} \psi$$\psi \in D(H)$. Este último requisito garantiza que $\psi_t \in D(H)$ por cada $t \in \mathbb R$, y que el $t$-derivado $\frac{d}{dt} \psi_t$ existe en el sentido de la topología del espacio de Hilbert, y, por último, que (1) es verdadera.
Sin embargo, una ingenua interpretación de la ecuación de Schroedinger se supone que el $t$-derivado en el estándar de sentido para una función de onda $\psi=\psi(t,x)$ suficientemente liso en ambas variables, y la ecuación en sí es interpretado en el sentido de la norma de la PDE, suponiendo que $H$ el (esperemos único) uno mismo-adjoint extensión de un operador diferencial
$H_x = -\frac{1}{2m} \Delta_x + V(x)$ $V$ al menos continuo:
$$\frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x) = -i H_x \psi(t,x)\tag{2}\:.$$
Esta segunda interpretación es insostenible en el caso general, por varias razones.
En particular, es falso que todas las soluciones de (1) resolver (2), debido a que el wavefunctions la solución de (1) son elementos de $D(H) \subset {\cal H} = L^2(\mathbb R^3, dx)$ y por lo tanto (a) están definidos hasta cero a medida y (b), en general, no es posible obtener una función continua cambiando el inicial en un cero a medida. (La razón es que la auto-adjunto de extensión de la $H$ $H_x$
deja de ser un operador diferencial.)
Sin embargo podría ocurrir que uno encuentra una solución de (2) $\psi=\psi(t,x)$ que es diferenciable en a $t$ por cada $x$ y suficientemente regular en $x$ dependiendo de la regularidad de $V$ a fin de pertenecer a $D(H_x)\subset D(H)$.
Qué $\psi$ resolver (1)?
La única cosa a comprobar es si, en casi todas partes en $x$ y para un determinado $t \in \mathbb R$,
$$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)\:.\tag{3}$$
Tenemos un par de hechos elementales:
(A) Si ambos lados de (3) existen, y el lado derecho pertenece a $L^2(\mathbb R^3, dx)$, (3) tiene.
(B) Si hay $\epsilon>0$ y
$g_{t} \in L^2(\mathbb R^3, dx)$, con
$$\left|\frac{\partial}{\partial \tau} \psi(\tau,x)\right| \leq |g_{t}(x)|\quad \mbox{almost everywhere in $x$, } \forall \tau \in (t-\epsilon, t+\epsilon)$$
a continuación, el lado izquierdo de (3) existe (y (3) es cierto para (A)).
ADDENDUM.
CROQUIS DE LA PRUEBA
Con respecto a (A), puesto que el $t$ derivada existe en el sentido de que el espacio de Hilbert de la topología, sabemos que
$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) - \frac{d \psi_t(x)}{dt}\right|^2 dx=0$$
Un resultado de $L^p$ espacios teoría dice que si $f_n \to f$$n\to +\infty$$L^p$, hay una larga con $f_{n_k} \to f$ en casi todas partes como $k \to +\infty$. Por eso hay una secuencia $h_k \to 0$$k\to +\infty$, de tal manera que, casi en todas partes en $x$,
$$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{d \psi_t(x)}{dt}\:.\tag{4}$$
Por otra parte, sabemos que, sólo porque $\frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}$ existe, para cada $x$ también tenemos
$$\frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $h\to 0$}.$$
Por lo tanto, en particular, otra vez, para cada $x$,
$$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $k\to \infty$}\:.\tag{5}$$
La comparación de (4) y (5), llegamos a la conclusión de que (A) se tiene:
$$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)$$
en casi todas partes en $x$. De modo que (a) es verdadera.
Con respecto a (B), lo que se ha demostrado es que:
$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2dx =0\:.\tag{6}$$
El teorema de Lagrange nos permite re-escribir la integral como:
$$\int \left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 dx$$
donde $t_{x,h} \in [t-h,t+h]$. En nuestra hipótesis también tenemos que:
$$\left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 \leq 2|g_t(x)|^2$$
en casi todas partes en $x$, y para todos lo suficientemente pequeño $h$.
Lebesgue del teorema de convergencia dominada implica que el símbolo de la integral y la de límite puede ser intercambiado en el lado derecho de (6), la obtención de
$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx$$
$$ =
\int \lim_{h\to 0}\left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx =0\:,$$
como quería.
