Demostrar que $\dfrac{b^{n-1}a(a+b)(a+2b)\cdots(a+(n-1)b)}{n!}$ es un número entero

Question

Deje $a$ $b$ ser números enteros y $n$ un entero positivo. Demostrar que $$\dfrac{b^{n-1}a(a+b)(a+2b)\cdots(a+(n-1)b)}{n!}$$ es un número entero.

Definir $v_p(x)$ que si $v_p(x) = n$, $p^n \mid x$ pero $p^{n+1} \nmid x$. A continuación, tenemos que mostrar que $v_p(b^{n-1})+v_p(a)+v_p(a+b)+\cdots+v_p(a+(n-1)b)\geq v_p(n!)$ para todos los números primos $p$. ¿Cómo debemos hacerlo?

Answer 1

Revisión de un primer número natural $p$. Para un entero $m$ y un entero no negativo $r$, vamos a $p^r\parallel m$ denotar la condición de que $p^r\mid m$ pero $p^{r+1}\nmid m$. Vamos a ignorar los casos triviales (es decir,, $n=1$, $a=0$, y $b=0$). Supongamos que $p^k\parallel a$ $p^l\parallel b$ para algunos enteros $k,l\geq 0$.

En primer lugar, suponemos que la $k < l$ (donde $l\geq 1$). De ello se deduce inmediatamente que $v_p(a+jb)=v_p(a)=k$ todos los $j=0,1,2,\ldots,n-1$. Así, $$v_p\left(b^{n-1}\,\prod_{j=0}^{n-1}\,(a+jb)\right)=v_p\left(b^{n-1}\right)+\sum_{j=0}^{n-1}\,v_p(a+jb)=(n-1)l+nk\,.$$ Note that $$v_p(n!)=\sum_{j=1}^\infty\,\left\lfloor\frac{n}{p^j}\right\rfloor<\sum_{j=1}^\infty\,\frac{n}{p^j}\leq \sum_{j=1}^\infty\,\frac{n}{2^j}=n\,.$$ En consecuencia, $\displaystyle v_p(n!)\leq n-1\leq (n-1)l\leq (n-1)l+nk=v_p\left(b^{n-1}\,\prod_{j=0}^{n-1}\,(a+jb)\right)$.

Ahora, supongamos que el $k \geq l$. Entonces, es evidente que, para cada $s=1,2,\ldots$, de la congruencia $$a+jb\equiv 0\,\pmod{p^{l+s}}$$ has at least $\a la izquierda\lfloor\dfrac{n}{p^s}\right\rfloor$ solutions $j\in\{0,1,2,\ldots,n-1\}$. Es decir, $$\sum_{j=0}^{n-1}\,v_p(a+jb)\geq nl+\sum_{s=1}^{\infty}\,\left\lfloor\frac{n}{p^s}\right\rfloor=nl+v_p(n!)\geq v_p(n!)\,.$$ Ergo, volvemos a obtener el $\displaystyle v_p(n!)\leq v_p\left(b^{n-1}\,\prod_{j=0}^{n-1}\,(a+jb)\right)$.

Que es, en todos los casos, $\displaystyle v_p(n!)\leq v_p\left(b^{n-1}\,\prod_{j=0}^{n-1}\,(a+jb)\right)$. Debido a $p$ es arbitrario, llegamos a la conclusión de que $n!$ divide $\displaystyle b^{n-1}\,\prod_{j=0}^{n-1}\,(a+jb)$. Yo creo que no debería ser una combinatoria prueba de esta afirmación, y la esperanza de ver.