¿Teorema de la estructura para grupos de torsión abelianos no generados finitamente?

Question

Sé de la teorema de la estructura para grupos abelianos finitamente generados .

Me pregunto si existe un teorema de estructura similar para grupos abelianos no generados finitamente. En particular, me interesa grupos de torsión . Tal vez tener un exponente finito ¿ayuda?

Answer 1

Un grupo abeliano de torsión siempre se puede descomponer en su $p$ -partes: dado un grupo abeliano $A$ y un primo $p$ , dejemos que $$A_p = \{a\in A\mid \mbox{the order of $ a $ is a power of $ p $}\}.$$ Entonces $A_p$ es un subgrupo de $A$ cada uno tiene intersección trivial con el subgrupo generado por todos los demás, por lo que el subgrupo que generan es isomorfo a su suma directa; y así $$\Bigl\langle A_p\;\Bigm|\; \mbox{$ p $ prime}\Bigr\rangle = \mathop{\oplus}\limits_{p}A_p \leq A,$$ donde $p$ se extiende sobre todos los primos.

Dado cualquier $a\in A$ ya que $a$ es la torsión, $a$ puede escribirse como una suma de elementos de $A$ cada uno de los cuales tiene un orden de una potencia prima, por lo que tenemos $$A = \mathop{\oplus}\limits_{p} A_p,$$ donde $p$ se extiende sobre todos los primos.

Dos grupos abelianos de torsión son isomorfos si y sólo si sus $p$ -son isomorfos. Así que el problema se reduce a clasificar los abelios $p$ -grupos.

A continuación, se puede descomponer el grupo en su parte divisible y su parte reducida, $A = A_{\mathrm{div}}\oplus A_{\mathrm{red}}$ (recordemos que un grupo abeliano $A$ es divisible si y sólo si para cada $a\in A$ y todo número entero positivo $n$ existe un elemento $x\in A$ tal que $nx=a$ un grupo abeliano $A$ es reducido si su mayor subgrupo divisible es el grupo trivial). Como todo grupo abeliano divisible es una suma directa de copias de $\mathbb{Q}$ y copias de los grupos Prüfer $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ para diferentes primos, en el $p$ -En el caso de la torsión del grupo, su parte divisible será simplemente una suma directa de (posiblemente infinitas) copias de $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ .

Dos grupos abelianos son isomorfos si y sólo si sus partes divisibles son isomorfas y sus partes reducidas son isomorfas. Así que el problema se reduce a los abelianos reducidos $p$ -grupos.

(Lo siguiente se puede encontrar en Rotman's Introducción a la teoría de grupos , 4ª edición, capítulo 10).

En el caso de exponente acotado, no hay problema: Prüfer (1923 para grupos contables) y Baer (1934 para el caso general) lo demostraron:

Teorema. (Prüfer, Baer) Si $A$ es un grupo abeliano de exponente acotado (es decir, existe $n\gt 0$ tal que $na=0$ para todos $a\in A$ ), entonces $A$ es una suma directa de grupos cíclicos.

Así que si el exponente de la parte reducida está acotado, es sólo una suma de grupos cíclicos (necesariamente de $p$ -orden de potencia). Y entonces, contando con la cardinalidad, se obtiene que dos son isomorfos si y sólo si tienen el mismo número de sumandos directos de cada orden.

Sin embargo, las cosas se complican en esta etapa.

Algunos resultados: para números enteros no negativos $n$ , defina $U\{n,A\}$ para ser $$U\{n,A\}= \dim_{\mathbf{F}_p}\left(\frac{p^nA\cap A[p]}{p^{n+1}A\cap A[p]}\right)$$ donde $A[p]$ es el subgrupo de elementos tal que $pa=0$ . Si $A$ es una suma de grupos cíclicos, entonces $U\{n,A\}$ es el número de sumandos cíclicos de orden $p^{n+1}$ .

En 1933, Ulm demostró que existe una versión transfinita de estos números, con $n$ que se extiende sobre los números ordinales, llamado Invariantes de Ulm . Dos abelianos de torsión contables $p$ -son isomorfos si y sólo si sus invariantes de Ulm son iguales. (El resultado no se extiende a los grupos incontables). Prüfer demostró que los grupos abelianos contables $p$ -es una suma directa de grupos cíclicos si y sólo si $\cap_{n=1}^{\infty}p^nA = 0$ (de nuevo, falso para grupos incontables). Kulikov caracterizó los grupos que son sumas directas de grupos cíclicos.

Nótese que el resultado de Prüfer da que en el caso reducido contable se obtiene una suma directa de grupos cíclicos (un elemento de la intersección tendría necesariamente un $p^i$ para cada $i$ y siendo de orden un poder de $p$ Tendría $n$ a las raíces para todos $n$ por lo que la toma y su $n$ se obtiene un subgrupo divisible, así que como $A$ se reduce el elemento debe ser trivial). Así que, realmente, los problemas empiezan a aparecer cuando se pasa al caso incontable. Ese argumento es incorrecto; tomando $x$ y su $p^i$ no conduce necesariamente a un subgrupo divisible, porque es posible que no se pueda elegir un sistema de $p^i$ raíces que va "hasta el final". $\infty$ ". Por ejemplo, podría tener un número contable de $p$ raíces, de manera que el $i$ th $p$ La raíz tiene un $p^{i-1}$ la raíz, pero no $p^i$ raíz; podría terminar con un elemento que tiene $n$ a las raíces para todos $n$ pero las raíces mismas no tienen $n$ a las raíces para todos $n$ por lo que el subgrupo no es realmente divisible. Lo siento, y gracias a Jack por el aviso.

Añadido. También existe un teorema de Kulikov:

Teorema (Kulikov, 1945) Todo grupo abeliano de torsión $A$ es una extensión de una suma directa de grupos cíclicos por un grupo divisible.

Se podría llegar a la conclusión de que esto significa que la parte reducida de la $p$ -componente de $A$ será necesariamente una suma directa de grupos cíclicos (ya que no tiene ningún subgrupo divisible no trivial), pero el problema es que un grupo reducido puede tener cocientes divisibles (incluso si es de torsión), por lo que este no es el caso. Para un ejemplo de un grupo reducido con un cociente divisible, tomemos $$A = \mathop{\oplus}\limits_{n=1}^{\infty}C_{p^n},$$ donde $C_{p^i}$ es un grupo cíclico de orden $p^i$ generado por $x_i$ . Tenga en cuenta que $A$ se reduce. Pero si dejamos que $$B = \bigl\langle x_1-px_2,\ x_2-px_3,\ \ldots, x_n-px_{n+1},\ldots\bigr\rangle,$$ entonces $A/B$ es isomorfo al grupo de Prüfer $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ que es divisible. Así que el teorema de Kulikov le da un diferentes manera de pensar en la parte reducida, como una extensión.

Answer 2

Para complementar el excelente estudio de Arturo sobre los fundamentos de los grupos p abelianos: Un estudio útil del desarrollo posterior (1960-2000) de la teoría de los grupos abelianos p se da en:

Hill, Paul. "El desarrollo de la teoría de los grupos p". Rocky Mountain J. Math. 32 (2002), no. 4, 1135-1151. MR 1987598 DOI: 10.1216/rmjm/1181070013 .

Personalmente, me gustó mucho más la teoría anterior (Kulakoff, Prüfer, Zippin, Ulm) que fue recogida en forma de libro de texto por Fuchs y Kaplansky. Sin embargo, después se obtuvieron muchos resultados positivos y negativos, por lo que si no te asustan los varios cientos de páginas de los libros de texto de Fuchs, Kaplansky y Griffith, el estudio tiene muchos artículos importantes más allá del nivel de los libros de texto.