¿Por qué la entropía de los agujeros negros no es una cantidad extensiva?

Question

La entropía de Bekenstein para un agujero negro es proporcional a la superficie $A$ del agujero negro $$ S_{BH} = \frac{k_B}{4 l_P} A $$ con la longitud de Planck $l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$ .

El área es la superficie de una esfera con radio de Schwarzschild $r_s = \frac{2 M G}{c^2}$ Así que $$ A = 4 \pi r_s^2 = 16\pi \left(\frac{G}{c^2}\right)^2 M^2 $$ y la entropía del agujero negro es por tanto proporcional a la masa del agujero negro $M$ al cuadrado: $$ S_{BH} = \frac{4 \pi k_B G}{\hbar c} M^2. $$ Pero esto es bastante inusual para una entropía. En la termodinámica clásica se supone que la entropía es siempre una cantidad extensiva, por lo que $S\sim M$ . Pero la entropía del agujero negro $S_{BH} \sim M^2$ es obviamente una cantidad no extensiva. ¿Una entropía no extensiva no es inconsistente en el marco de la termodinámica? ¿Por qué la entropía de un agujero negro debe ser una cantidad no extensiva? ¿No deberíamos definir mejor una entropía para un agujero negro a partir, por ejemplo, de la relación entre el radio de Schwarzschild y la longitud de Planck, lo que nos daría una entropía extensiva como $$ S_{BH, ext} \sim k_B \frac{r_s}{l_P} \sim k_B\sqrt{\frac{4G}{\hbar c}} M $$

Answer 1

Esta es una respuesta adaptada de los comentarios de Rococo y Wolphram jonny más un poco de google.

La termodinámica en presencia de la gravedad ya no es extensiva (incluso la gravedad clásica) debido a la naturaleza de largo alcance de la gravedad. Esta es una de las razones por las que se ha desarrollado una termodinámica no extensiva, como la estadística de Tsallis.

Estadísticas de Tsallis

La estadística de Tsallis fue creada por Constantino Tsallis, un físico brasileño que trabaja en Río de Janeiro (aunque nació en Grecia en 1943 y creció en Argentina). Introdujo lo que ahora se conoce como entropía de Tsallis y estadística de Tsallis en su artículo de 1988 Posible generalización de la estadística Boltzmann-Gibbs .

La estadística de Tsallis se considera un buen candidato (quizá incluso el mejor) para una teoría no extensiva de la termodinámica. Su objetivo es complementar la estadística de Boltzmann-Gibbs, no sustituirla. La estadística de Tsallis es una colección de funciones matemáticas y distribuciones de probabilidad asociadas que pueden utilizarse para derivar Distribuciones de los tsallis de la optimización de la forma entrópica de Tsallis. También son útiles para caracterizar la difusión compleja y anómala.

Entropía de Tsallis

La entropía de Tsallis es una generalización de la norma Entropía de Boltzmann-Gibbs . También introducida por Constantino Tsallis en el mismo artículo de 1988, es idéntica en su forma a la α-entropía estructural de Havrda-Charvát dentro de la teoría de la información. A partir del año 2000, se ha acumulado una gran variedad de pruebas que confirman las predicciones experimentales de la entropía de Tsallis. A continuación se ofrece una breve lista de las confirmaciones más notables:

1. La distribución que caracteriza el movimiento de los átomos fríos en las redes ópticas disipativas, predicha en 2003 y observada en 2006

2. Las fluctuaciones del campo magnético en el viento solar permitieron calcular el triplete q (o triplete de Tsallis)

3. Las distribuciones de velocidad en el plasma polvoriento disipativo impulsado

4. Relajación del cristal giratorio

5. Iones atrapados que interactúan con un gas tampón clásico

6. Experimentos colisionales de alta energía en el LHC/CERN (detectores CMS, ATLAS y ALICE) y en el RHIC/Brookhaven (detectores STAR y PHENIX) $^1$

Implicaciones

Aunque no se pueden conocer por completo todas las implicaciones de esta teoría, refina la definición de Boltzmann-Gibbs de la entropía, proporciona una herramienta más, la estadística de Tsallis, para explorar la termodinámica no extensiva, es un punto de partida para muchas especulaciones sobre los agujeros negros, la gravedad cuántica y el principio holográfico, por citar algunos ejemplos.

Bekenstein y la termodinámica de los agujeros negros

Es es Es inusual que Bekenstein haya utilizado una cantidad no extensiva, a saber, la masa al cuadrado, y que la estadística de Tsallis no haya tenido nada que ver con esto. Sin embargo, la razón de ello fue en realidad una intuición de Bekenstein.

Todo comenzó (por así decirlo) con el teorema del área de Stephen Hawking para los agujeros negros ( $S = k A/4$ ). Enseguida (estamos en noviembre de 1970), se dio cuenta de que su ley tenía un asombroso parecido con la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, pensó que no tenía sentido que esto fuera cierto: no tenía sentido que las dos estuvieran relacionadas y, de todos modos, los agujeros negros eran negro .

Jacob Bekenstein no estaba convencido. Hawking decía que los dos no eran lo mismo, lo que significaba la violación de la segunda ley de la termodinámica. Todos los científicos se pusieron del lado de Hawking en este argumento, excepto John Wheeler, el asesor de doctorado de Bekenstein (porque, según él, "su idea es lo suficientemente loca como para que pueda ser correcta"). En su artículo (que puede leerse aquí ) Dice Bekenstein,

Todas las analogías que hemos mencionado sugieren una conexión entre la termodinámica y la física de los agujeros negros en general, y entre la entropía y el área de los agujeros negros en particular. Pero hasta ahora las analogías han sido de naturaleza puramente formal, principalmente porque la entropía y el área tienen dimensiones diferentes. Vamos a remediar esta deficiencia... construyendo a partir del área de los agujeros negros una expresión para la entropía de los agujeros negros con las dimensiones correctas.

También hay que tener en cuenta que el teorema del área propuesto por Hawking ( el área del horizonte de sucesos de un agujero negro no puede disminuir; aumenta en la mayoría de las transformaciones del agujero negro ) requiere un comportamiento creciente que recuerda a la entropía termodinámica de los sistemas cerrados, y como tal es razonable que los agujeros negros sean una función monótona del área (y es la función más simple de este tipo).

Así quedaron las cosas hasta el año siguiente, cuando Hawking demostró que los agujeros negros emiten efectivamente radiación en forma de partículas virtuales, y el resto, como se dice, es historia. Todas las demás leyes de los agujeros negros formuladas fueron básicamente las leyes de la termodinámica para los agujeros negros, lo que dio lugar a la termodinámica de los agujeros negros y a la famosa (más o menos) ecuación $S_{BH} = \frac{k A}{4 l_p^2}$ .

En la ecuación, $S_{BH}$ es la entropía de un agujero negro (o Bekenstein-Hawking, como se prefiera), $k$ es la constante de Boltzmann, $A$ es el área del horizonte de sucesos del agujero negro, y $l_p$ es la longitud de Planck, por lo que $l^2_p$ es el área de Planck. Curiosamente, mirando sus cálculos, usted utiliza $l_p$ en lugar de $l^2_p$ . Supongo que en tu ecuación utilizas $k_B$ como la constante de Boltzmann, en lugar de $k$ .

Próximos pasos

Así que, viendo las similitudes entre las leyes de la termodinámica y las leyes de la termodinámica de los agujeros negros, creo que era una suposición bastante razonable (teniendo en cuenta los resultados, que tienen sentido), aunque por supuesto tenemos el beneficio de la retrospectiva. Las principales consecuencias de estos pensamientos fueron en términos de información: uno podría preguntarse cómo es posible que toda la información del agujero negro esté "codificada" en su superficie. Esta idea fue formalizada por el principio holográfico . Si esta idea es cierta (y muchos cálculos teóricos apuntan a que, como mínimo, esto tiene sentido) la entropía de un agujero negro tiene sea proporcional al área del agujero negro (@BobBee profundiza en esto en su respuesta, y lo explica muy bien).

El siguiente paso en la termodinámica de los agujeros negros sería calcular una teoría de la gravedad cuántica. ¿Por qué? Bueno, los agujeros negros están en esa intersección en la que tanto la gravedad como la mecánica cuántica son importantes. Tienen una singularidad, y todas nuestras leyes de la física se rompen allí. Todavía quedan problemas por resolver en la termodinámica de los agujeros negros, pero creo que las entropías no extensivas son consistentes con la teoría de la termodinámica.

Hay que tener en cuenta, al hablar de coherencia o incoherencia aquí, que la entropía ha "cambiado" bastante desde que se formuló por primera vez. Desde la definición de Clausius, pasando por Boltzmann y Gibbs, Claude Shannon (en cuanto a la teoría de la información), Bekenstein y Hawking (en cuanto a los agujeros negros) y Tsallis, se ha encontrado que la entropía tiene muchas conexiones con muchos campos. Como dice WetSavannaAnimal alias RodVance en su respuesta, tenemos que ampliar lo que entendemos por extensa.

Fuentes

Gracias a Wolfram jonny y a Rococo por sus estupendos comentarios. He utilizado el sitio web enlazado más abajo para la cita y para la sección sobre la entropía de Tsallis. He utilizado este sitio web por la información sobre Constantino Tsallis. He utilizado este sitio web para mi información sobre las estadísticas de Tsallis. Para los más curiosos, aquí es un sitio web en el que si se desplaza un poco hacia abajo verá un pdf del artículo del Dr. Tsallis.

Para la sección sobre Bekenstein, he utilizado principalmente Agujeros negros y deformaciones temporales de Kip Thorne; se puede encontrar una copia en google books aquí . Las páginas relevantes son la 422 a la 427. También he utilizado este sitio web . El documento de Bekenstein se cita en el texto; de ahí procede la cita. Otro sitio web muy informativo es este .

Por último, las otras dos respuestas aquí son muy buenas. Gracias a BobBee por explicar cómo encaja el principio holográfico y los desarrollos recientes (y, por supuesto, sobre cómo tenemos que generalizar nuestra definición de extenso). Gracias a WetSavannaAnimal alias RodVance por ampliar la respuesta de BobBee, su explicación fue también muy perspicaz y útil.

$^1$ Cita de este sitio web

Answer 2

Lebedev: Funciones especiales y sus aplicaciones

Bryon y Fuller: Matemáticas de la física clásica y cuántica

Answer 3

Aunque las respuestas existentes son extensas (perdón por el juego de palabras) quiero añadir la siguiente reflexión, que encontré en el libro de Susskinds https://en.wikipedia.org/wiki/The_Black_Hole_War :

La razón por la que la entropía $S_{BH}$ de un agujero negro es proporcional a $M^2$ no es que la entropía para un agujero negro se cuente de forma diferente, sino que está en la definición de masa para el agujero negro.

Cuando hablamos de entropía de un agujero negro, la masa $M$ significa la llamada masa gravitacional. Pero también se puede definir la llamada masa bariónica o libre, tomando todas las partículas (bariónicas) (Susskind se refiere en realidad a las cuerdas) de las que se compone un objeto y pesándolas por separado, para luego sumar toda la masa. Contrariamente a la intuición, la masa gravitacional es menor que la masa libre (debido a la energía de enlace gravitacional negativa) y para objetos muy densos, como una estrella de neutrones, la masa gravitacional $M$ es ya bastante menor (20%) que su llamada masa bariónica o libre $M_{b}$ Ver también

• ¿Cuál es la energía de enlace de una estrella de neutrones?
• https://www.astro.umd.edu/~miller/enseñanza/preguntas/neutrón.html

Susskind explica que para un agujero negro este efecto es aún más pronunciado, a saber, según entiendo $$ M = \sqrt{M_b} $$ Y así llegamos a la conclusión de que la entropía $S$ de un agujero negro sólo parece una cantidad no extensiva porque en la fórmula de Bekenstein-Hawking la relacionamos con la masa gravitatoria. De hecho, si la relacionamos con la masa libre (masa gravitatoria + energía de enlace gravitatoria) la entropía de un agujero negro sigue siendo una cantidad extensiva $$ S \sim M^2 \sim M_b $$

Answer 4

Me gustaría añadir a La perspicaz respuesta de BobBee que se puede resumir como: necesitamos ampliar nuestra noción de extensivo para sistemas que Gibbs, Boltzmann y todos los demás no pudieron concebir.

Otro punto, que está implícito en las nociones que Respuesta de BobBee discute es que la entropía es siempre extensa en el siguiente sentido ampliado:

La entropía de Shannon es aditiva para el compuesto de sistemas estadísticamente independientes

simplemente por construcción (la definición). Para los pedantes, digamos que multiplicamos la entropía de Shannon por la constante de Boltzmann, para que se reduzca a la entropía termodinámica clásica cuando se utiliza esta última noción (los que dicen que la entropía termodinámica y la entropía de Shannon no son lo mismo, por favor, lean mi respuesta aquí sobre cómo son postulado para ser el mismo módulo de la constante de Boltzmann).

En la teoría de conjuntos causales (de la que sólo tengo un conocimiento fugaz) entiendo que los supuestos "átomos" del espaciotiempo se influyen mutuamente de forma causal y, por supuesto, tienes pares de estos átomos que están enredados pero que se encuentran a ambos lados del horizonte de Schwarzschild: uno de los pares está dentro del agujero negro y, por tanto, no puede ser sondeado desde el exterior, mientras que el otro miembro del par está en nuestro universo. Por lo tanto, el miembro del par del horizonte exterior observable en nuestro universo tiene variables de estado "ocultas", es decir codificadas en el estado del miembro del par dentro del horizonte que se suman a su entropía de von Neumann, tal y como la percibiríamos fuera del horizonte. Así que la teoría predice una entropía proporcional al área del horizonte (la famosa ecuación de Hawking $S = k\,A/4$ ) porque es el área que es proporcional al número de tales pares que atraviesan el horizonte.