Demuestra que $a_n = [n \sqrt{2}]$ contiene un número infinito de potencias enteras de $2$

Question

Demuestre que la secuencia $\{a_n\}_{n \geq 1}$ definido por $a_n = [n \sqrt{2}]$ contiene un número infinito de potencias enteras de $2$ . ( $[x]$ es la parte entera de $x$ .)

Intenté enumerar los primeros valores, pero no vi ningún patrón: $1,2,4,5,7,8,9,11,\ldots.$ ¿Deberíamos hacer una prueba por contradicción?

Answer 1

Sea $1/\sqrt{2} = \sum_{j=1}^\infty d_j 2^{-j}$ sea la expansión en base 2 de $1/\sqrt{2}$ donde cada $d_j$ es $0$ o $1$ . Desde $1/\sqrt{2}$ es irracional, hay infinitas $0$ e infinitas $1$ 's. Sea $x_N = \sum_{j=1}^N d_j 2^{-j}$ y $n_N = 1 + 2^N x_N = 1 + \sum_{j=1}^N d_j 2^{N-j}$ que es un número entero positivo. Si $d_{N+1} = 1$ tenemos $$1/\sqrt{2} - 2^{-N-1} < x_N + 2^{-N-1} < 1/\sqrt{2}$$ y luego $$2^N < \sqrt{2}\; n_N = \sqrt{2} (x_N + 1/2^N)2^N < 2^N+\sqrt{2}/2 < 2^N + 1$$ para que $2^N = \lfloor \sqrt{2} n_N \rfloor$ .

Answer 2

Sea $p_k=[\frac {2^k}{\sqrt 2}], q_k=\{\frac {2^k}{\sqrt 2}\}$ . $2^k$ será igual a $a_{p_k+1}$ a menos que $[\sqrt 2(p_k+1)]=2^k+1$ que ocurre cuando $\sqrt 2 (p_k+1) \gt 2^k+1$ . Tenemos $\sqrt 2(p_k+1)=2^k-q_k\sqrt 2+\sqrt 2$ Esto ocurre cuando $q_k \lt \frac {\sqrt 2-1}{\sqrt 2}\approx 0.293$ . Dado cualquier $k$ para lo cual $q_k \lt \frac{\sqrt 2-1}{\sqrt 2}$ tras un número finito de duplicaciones alcanzaremos un valor en el que $q_{k'} \gt \frac {\sqrt 2-1}{\sqrt 2}$ y $2^{k'}$ estará en la secuencia.

Answer 3

Mira la expansión binaria de $\sqrt{2}$ . Wikipedia dice que esto es $$ 1.01101010000010011110… $$ El número entero de su número $n \sqrt{2}$ es una potencia de dos si antes del punto decimal sólo hay un 1 seguido de ceros. Está claro que siempre se puede elegir n de forma que sólo haya un uno seguido de ceros. La segunda potencia se hallaría así $$ 1.01101010000010011110… * 100 = 101.101010000010011110… \\ 101.101010000010011110… - 1 = 100.101010000010011110… $$ Entonces n sería $100 - 1 = 11$ que en números decimales sería $3$ .

En realidad podemos construir todas las potencias de dos en [ $n\sqrt{2}$ de esta manera. Puesto que $\sqrt{2}$ es un número irracional siempre habrá un 1 siguiente (ya que si en un momento dado sólo hubiera ceros sería una fracción). Por lo tanto el número de soluciones es infinito.