Cálculo de la probabilidad de ganar un torneo al mejor de 7 partidas. ¿Por qué mi método es incorrecto?

Question

La pregunta es la siguiente:

A y B participar en un torneo al "mejor de 7 partidas". Es igualmente probable que A gana el juego o B gana la partida, o la partida termina en empate. ¿Cuál es la probabilidad de que A ¿Gana el torneo?

Así que intenté un enfoque como este. Hice una tabla como: $$ \begin{array}{c|c} \text{Ways of Winning} & \text{Probability} \\ \hline \text{W W W W _ _ _} & (1/3)^4 \\ \color{red}{\text{W W W L }} \text{W _ _} & (1/3)^5\times 4 \\ \color{red}{\text{W W W L L }} \text{W _} & (1/3)^6\times \dfrac{5!}{3!\,2!} \\ \color{red}{\text{W W W L L L }} \text{W} & (1/3)^7\times \dfrac{6!}{3!\,3!} \\ \color{red}{\text{W W W D }} \text{W _ _} & (1/3)^5\times 4 \\ \color{red}{\text{W W W D L }} \text{W _} & (1/3)^6\times \dfrac{5!}{3!} \\ \color{red}{\text{W W W D L L }} \text{W} & (1/3)^7\times \dfrac{6!}{3!\,2!} \\ \vdots & \vdots \\ \color{red}{\text{W D D D D L }} \text{W} & (1/3)^7\times \dfrac{6!}{4!} \\ \color{red}{\text{W D D D D D }} \text{W} & (1/3)^7\times 6 \\ \color{red}{\text{W D D D D D D}} & (1/3)^7\times 7 \\ \end{array} $$ Aquí la W representa una victoria para A La L representa una pérdida, mientras que la D representa un empate. Si un personaje está en rojo, significa que puede ser intercambiado (reordenado) con los otros personajes en rojo. Si está en negro, su posición es fija. Los guiones bajos representan que se puede tomar cualquier valor en ese punto.

El procedimiento que seguí es que, para los empates a cero, seguí añadiendo una L roja extra antes de la última W y aún dejando A ganar el torneo. Entonces añadí una D roja, y luego seguí añadiendo una L roja, dejando de nuevo A ganar el torneo. Escribí todos los arreglos de esta manera y escribí las probabilidades correspondientes y las sumé. Para mí había 16 filas de este tipo.

La respuesta que obtuve fue $651/3^7$ o $217/729$ pero la respuesta dada es $299/729$ . Lo calcularon restando la probabilidad de un empate a uno y luego dividiéndola entre dos. ¡Entiendo por qué lo hicieron, lo que no entiendo es por qué nuestras respuestas no coinciden!

Entonces, ¿qué hay de malo en mi enfoque? ¿Me falta algún caso? ¿O está totalmente desechado?

Answer 1

La simetría entre $A$ y $B$ te dice que cada uno tiene las mismas posibilidades de ganar el torneo. Si puedes calcular la probabilidad de que el torneo se sortee, puedes calcular la probabilidad de que $A$ gana la mitad de las posibilidades de que el torneo no se empate. Hay menos casos a tener en cuenta de los que tenías para trabajar. Esto explica el enfoque del libro.

En su cálculo, la segunda y tercera líneas desde el final no son correctas. Cuando $A$ no gana cuatro partidos, no es necesario que gane el último partido. Para la penúltima línea, la posibilidad de que $A$ gana dos y hay cinco empates debe ser $(\frac 13)^7{7 \choose 2}=(\frac 13)^7\frac {7!}{5!2!}$ porque $A$ podría haber ganado cualquiera de los dos. Parece que tiene ese problema en todas las líneas que no resultan $4$ gana por $A$ .

Answer 2

Enfoque similar al tuyo, excepto que permites que los equipos sigan jugando incluso después de que el ganador sea inevitable.

Tenemos las siguientes posibilidades:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline W&L&D&\text{total arrangements}\\ \hline 1&0&6&7\\ \hline 2&0&5&21\\ 2&1&4&105\\ \hline 3&0&4&35\\ 3&1&3&140\\ 3&2&2&210\\ \hline 4&0&3&35\\ 4&1&2&105\\ 4&2&1&105\\ 4&3&0&35\\ \hline 5&0&2&21\\ 5&1&1&42\\ 5&2&0&21\\ \hline 6&0&1&7\\ 6&1&0&7\\ \hline 7&0&0&1\\ \hline \end{array}$

Cada número de la derecha se halló utilizando coeficientes multinomiales. Por ejemplo, 3 victorias, 2 derrotas y 2 empates pueden hacerse en $\binom{7}{3,2,2}=\frac{7!}{3!2!2!}=210$ formas.

Sumando la columna de la derecha, nos queda $897$ posibles casos igualmente probables en los que el primer jugador gana el torneo de $2187$ posible. Esto es una probabilidad de $\dfrac{299}{729}$ como era de esperar.

Como puedes ver, esto era bastante tedioso, y el atajo de reconocer que es igual de probable que el jugador 1 acabe siendo el vencedor es mucho más corto.

Answer 3

Ruta alternativa

Dejemos que $N_{A}$ denotan el número de veces que $A$ gana, y $N_{B}$ el número de veces que $B$ gana.

Entonces:

• $\Pr\left(\text{no winner}\right)=\sum_{k=0}^{3}\Pr\left(N_{A}=N_{B}=k\right)=3^{-7}\sum_{k=0}^{3}\frac{7!}{k!k!\left(7-k\right)!}$

• $\Pr\left(A\text{ wins}\right)+\Pr\left(B\text{ wins}\right)+\Pr\left(\text{no winner}\right)=1$

• $\Pr\left(A\text{ wins}\right)=\Pr\left(B\text{ wins}\right)$

Esto nos lleva a:

$$\Pr\left(A\text{ wins}\right)=\frac{1}{2}\left[1-3^{-7}\sum_{k=0}^{3}\frac{7!}{k!k!\left(7-k\right)!}\right]=\frac{1794}{4374}=\frac{299}{729}$$