Problemas en la relación $a=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

Question

Todos sabemos $a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ . Una pequeña aplicación de la regla de la cadena conduce a la relación $$a=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$$ Pero la ecuación anterior muestra que $a=0$ siempre que $v=0$ . Y esto debe ser erróneo, ya que cuando lanzamos algo verticalmente desde la superficie de la tierra se detiene y luego regresa debido a la gravedad. Siempre hay una aceleración en la dirección hacia abajo.

Se me han ocurrido dos posibles formas de resolver este problema:

1. Sabemos que $v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ Así que siempre que $v=0$ entonces $\mathrm{d}x=0$ (es decir, no hay desplazamiento en ese tiempo infinitamente pequeño). También, $$a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$ sólo si $\mathrm{d}x$ no es igual a $0$ como multiplicar el numerador y el denominador por $0$ lo hará $0/0$ (indefinido). O multiplicando por $0/0$ no es equivalente a multiplicar por $1$ .

   Ahora bien, como $\mathrm{d}x=0$ siempre que $v=0$ por lo que no podemos escribir $a = v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ cuando $v=0$ .

2. Si trazamos un $v$ - $x$ curva para el movimiento, siempre que $v=0$ como se ha explicado, $\mathrm{d}x=0$ . Por lo tanto, en ese instante $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ (la pendiente de la $v$ - $x$ curva) no estará definida (como $\mathrm{d}x=0$ ), por lo que la ecuación $a = v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ será indefinido y no podremos determinar la aceleración en ese instante con el $v$ - $x$ curva.

   Ahora bien, eso significa realmente que al trazar $v$ - $x$ perdemos información sobre la aceleración de la partícula cuando $v=0$ .

Quiero un método para encontrar la aceleración en ese punto usando $v$ - $x$ curva. También una explicación para este defecto de la $v$ - $x$ curva.

También me gustaría añadir que hasta ahora ningún libro de física (que yo haya leído) ha explicado esto antes de escribir esta relación. Tampoco mencionan que esto no funcionará para $v=0$ .

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Me gustaría añadir la situación en la que he observado esto: cuando lanzas algo verticalmente hacia arriba con una velocidad tal que alcanza una altura 10 entonces la curva v-x será- la pendiente de la curva anterior no está claramente definida en x=10 (o en el instante en que la velocidad es 0) Pero sabemos que hubo una aceleración constante durante todo el vuelo. Entonces, ¿cómo podemos encontrar la aceleración en ese instante? Supongamos también que sólo tenemos la curva v-x. O si no podemos, ¿por qué?

Answer 1

Su error es simplemente que está asumiendo que $v(x)$ es diferenciable con respecto a $x$ en $v=0$ . La regla de la cadena necesita que todos los derivados implicados existen antes de poder aplicarlo. En el caso de que sólo se suelte algo, la función $v(x) = \sqrt{2gx}$ no es diferenciable en $x=0$ que es donde $v=0$ Por lo tanto, no se puede aplicar la regla de la cadena allí.

Por otro lado, si $v(x)$ es diferenciable cuando $v=0$ entonces la aplicación de la regla de la cadena es válida. No hay nada fundamental en $v=0$ que prohíbe aplicar la regla de la cadena aquí, pero hay es algo en su ejemplo de dejar caer algo que lo prohíbe.

Lección: No aplicar las normas sin comprobar si se cumplen sus requisitos previos.

Answer 2

Cuando un objeto parte del reposo, el cambio de velocidad cuando ha realizado un desplazamiento infinitesimal es infinito, es decir, $\frac{dv}{dx}$ es indefinido. Esto se puede ver más fácilmente si se traza la curva de $v$ en función de $x$ para un objeto que comienza en reposo:

$$x = \frac12 a t^2\\ v = at\\ x = \frac12 a \left(\frac{v}{a}\right)^2\\ v = \sqrt{2ax}$$

Cuando graficamos eso, vemos la pendiente en $x=0$ es infinito:

Y siempre que tengas "infinito" en cualquier parte de tus ecuaciones, tienes que tomar el límite. Esto te permite encontrar que la expresión que tienes sigue funcionando "hasta" el punto donde x=0.

Por cierto, hace años me encontré exactamente con este problema cuando intentaba hacer una integración numérica de una ecuación de movimiento: usando pasos en X, no conseguía que la partícula empezara a moverse. Cambiando a pasos en t, el problema desaparece...

Answer 3

Considera lo que has declarado:

$$a=v\frac{dv}{dx}$$

Ahora vuelve a escribirlo:

$$\frac{dv}{dx}=\frac{a}{v}$$

Si $v$ es pequeño, entonces sabes que $\frac{dv}{dx}$ debe ser enorme para producir la aceleración que usted sabe muy bien que existe. La aceleración en la parte superior de esa trayectoria es seguramente $9.8$ $m/s^2$ . Como $v$ se hace cada vez más pequeño al llegar al vértice, $\frac{dv}{dx}$ debe hacerse cada vez más grande para conservar la aceleración que se sabe que existe. Tal vez ayude pensar en ello como las matemáticas te están haciendo saber que se está produciendo un infinito porque una inversión del vector de velocidad está por llegar. Creo que así es como se podría interpretar físicamente la matemática. Viene un infinito, y eso significa que va a ocurrir un fenómeno físico importante. Las matemáticas nos están diciendo que una inversión vectorial puede ocurrir en el tiempo aunque la velocidad sea cero. El tiempo sigue avanzando aunque el movimiento se invierta.

Answer 4

Esta ecuación se entiende mejor en forma integral

$$ \left. {\rm d}x = \frac{v}{a}\,{\rm d}v \right\} x_2-x_1 = \int \limits_{v_1}^{v_2} \frac{v}{a}\,{\rm d}v $$

Te da la distancia recorrida por una aceleración variable entre dos velocidades. "Un coche que acelera de 0 a 100 km/h necesita una distancia X".

Al afirmar que $v=0$ siempre no sólo implica que $a=0$ (aceleración constante) pero también los límites de integración son idénticos $v_1=v_2=0$ . Como resultado, la integral es cero y $x_2-x_1 =0 $ . Esto se interpreta como que un cuerpo que no se mueve no recorre ninguna distancia (¡duh!).