$\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\cdots}}}$, o el límite de la secuencia $x_ {n+1} = \sqrt{c+x_n}$

Question

(Fitzpatrick Cálculo Avanzado 2e, Seg 2.4 #12)

Para $c \gt 0$, considere la ecuación cuadrática $x^2 - x - c = 0, x > 0$.

Definir la secuencia de $\{x_n\}$ de forma recursiva por la fijación de $|x_1| \lt c$ y luego, si $n$ es un índice de los cuales $x_n$ ha sido definido, la definición de

$$x_{n+1} = \sqrt{c+x_n}$$

Demostrar que la secuencia de $\{x_n\}$ converge monótonamente a la solución de la ecuación anterior.

Nota: Las respuestas a continuación puede asumir $x_1 \gt 0$, pero el trabajo sigue, como hemos $x_3 \gt 0$.

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Esto es ser reutilizados en un esfuerzo para reducir los duplicados, consulte aquí: Afrontamiento con resumen duplicar preguntas.

y aquí: Lista de resumen de los duplicados.

Answer 1

Asumiendo que usted sabe que una monótona, delimitada secuencia converge, desea hacer dos cosas. En primer lugar, demostrar que $\langle x_n:n\in\mathbb{Z}^+\rangle$ es monótona y acotada, y luego mostrar que su límite es el positivo de la raíz de $x^2-x-c=0$.

Si $c=x_1=1$, $x_2=\sqrt2>x_1$, mientras que si $c=1$ y $x_1=2$, $x_2=\sqrt3<x_1$, así que si la sucesión es monótona, la dirección en la que monotónica debe depender de $c$ y $x_1$. Un buen primer paso sería tratar de averiguar cómo esta dependencia funciona.

El positivo de la raíz de la ecuación cuadrática es de $\frac12(1+\sqrt{1+4c})$, que me va a denotar por $r$. Si $x_n\r$, como se afirma, y lo hace monótona, debe ser el caso de que la secuencia se incrementa monótonamente si $x_1<r$ y disminuye monótonamente si $x_1>r$. En los ejemplos mencionados en el último párrafo, $r=\frac12(1+\sqrt5)\aprox 1.618$, por lo que se comportan como se predijo.

Esto sugiere que el primer paso debería ser para mostrar que, si $x_n<r$, entonces $x_n<x_{n+1}<r$, mientras que si $x_n>r$, $x_n>x_{n+1}>r$; eso sería suficiente para demostrar que $\langle x_n:n\in\mathbb{Z}^+\rangle$ es tanto monótona y acotada y, por tanto, que tiene un límite.

Suponga que $0\le x_n<r$; usted puede comprobar fácilmente que $x_n^2-x_n-c<0$, es decir, que $x_n^2<x_n+c$. Por otro lado, $x_{n+1}^2=c+x_n$, entonces $x_{n+1}^2>x_n^2$, y por lo tanto $x_{n+1}>x_n$. Es posible que $x_{n+1}\ge r$? Que requeriría que $x_{n+1}^2-x_{n+1}-c\ge 0$ (por qué?) y de ahí que $$x_{n+1}^2\ge x_{n+1}+c>x_n+c=x_{n+1}^2\;,$$ lo cual es claramente imposible. Por lo tanto, si $0\le x_n<r$, debemos tener $x_n<x_{n+1}<r$, como se desee. Os dejo el caso $x_n>r$ a.

Una vez hecho esto, usted todavía tiene que demostrar que el límite de la secuencia realmente es de $r$. Deje que $f(x)=\sqrt{c+x}$; claro que $f$ es continua, por lo que si la secuencia converge a $L$ tenemos $$L=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(L)\;,$$ y a partir de ahí es trivial comprobar que $L=r$.

Añadido: tenga en cuenta que aunque el problema nos dio $x_1>0$, esto no es realmente necesario: todo lo que se necesita es que $x_1\ge -c$, de modo que $x_2$ se define, desde $x_2=\sqrt{c+x_1}\ge 0$ automáticamente.

Answer 2

Deje que $k$ ser el positivo de la raíz de su polinomio. Tenga en cuenta que $y=x^2-x-c$ es un alza de apertura de la parábola cuyo vértice debajo de los $$x-axis y una inicial hacia abajo de la pendiente. Esto implica que el positivo de $x$-valores de menos de $k$ producir resultado negativo, mientras que $x$-valores mayores que $k$ producir salida positiva.

Tenga en cuenta también que la totalidad de los $x_n$ son positivos, por lo que será aceptable para preservar igualdades y desigualdades que implican $x_n^2$ después de tomar la raíz cuadrada.

Si $x_0=k$, entonces $x_1^2=c+k=k^2$, entonces $x_1=k$. Sigue la secuencia como esta, y es constante.

Si $x_n<k$, entonces $x_{n+1}^2=c+x_n<c+k=k^2$. Por lo que $x_{n+1}<k$. (Del mismo modo, si $x_n>k$, entonces $x_{n+1}>k$.) Este establece que la sucesión es acotada arriba o abajo, dependiendo de donde $x_0$ es en relación con $k$.

Si $x_n<k$, entonces $x$ es un número positivo a la izquierda de la raíz del polinomio. $x$-valores en esta región se producen resultado negativo, por lo que $x_n^2-x_n-c<0$. Que implica que $x_{n+1}^2=c+x_n>x_n^2$, y por lo que $x_{n+1}>x_n$. (Del mismo modo, si $x_n>k$, entonces $x_{n+1}<x_n$.)

Así pues, si en $x_0<k$ notará un aumento de la secuencia delimitada por encima. Y si $x_0>k$ usted tendrá una disminución de la secuencia delimitada a continuación.

Así que el límite existe en todos los casos posibles. Su valor tiene que ser una solución a $L=\sqrt{c+L}$. Sólo hay una solución: $L=k$.

Answer 3

Vamos a $r=\frac {1+\sqrt {1+4c}}2$ ser el positivo de la raíz de la ecuación cuadrática, por lo que $r^2=r+c$ y $r\gt 1$

Tenga en cuenta que para $n\gt 1$ tenemos $x_n\gt 0$

Ahora supongamos que $r\gt x_n$ para $x_{n+1}^2=c+x_n$ tenemos $$r^2-x_{n+1}^2=(r+c)-(c+x_n)=r-x_n\gt 0$$y $$r-x_{n+1}=\frac {r-x_n}{r+x_{n+1}}\lt r-x_n$$

Donde $x_n$ es monótonamente creciente, y acercándonos a $r$, la diferencia se reduce al menos tan rápido como $r^{-n}$, por lo que el límite es fácil de probar.

Por otro lado, si $r\lt x_n$ tenemos $$x_{n+1}^2-r^2=(c+x_n)-(r+c)=x_n-r\gt 0$$y $$x_{n+1}-r=\frac {x_n-r}{x_{n+1}+r}\lt x_n-r$$y la sucesión es decreciente y acotada abajo por $r$, y es una vez más fácil de probar que este es el límite.