Los polinomios finitos satisfacen $|f(x)|\le 2^x$

Question

Este es un problema de la competencia de matemáticas de la Universidad TsingHua para estudiantes de secundaria.

Demuestra que solo existe un número finito de polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tal que para cualquier $x \in \mathbb{N}$, $|f(x)|\le 2^x$.

Mis intentos: dado que $f(x)=o(2^x)$, $f$ solo puede estar acotado cuando $x$ es pequeño, por ejemplo $f(0)=0,1, \ f(1)=0,1,2, \cdot \cdot \cdot$. Por lo tanto, usando la interpolación de Lagrange se concluye que para cualquier $n \in \mathbb{N}$, el número de polinomios de este tipo es finito. Pero no sé cómo proceder a partir de aquí.

¿Está mal mi método o hay una mejor manera? Además, me gustaría saber algo sobre el trasfondo de este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Créditos de la solución a Rui Yao:

Según una propiedad de diferencias finitas, si establecemos $c_n\in \mathbb{Z}$ como el coeficiente más alto de $f(x)$, que tiene grado $n$, entonces $$n!c_n=\Delta ^n [f](x)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} f(i)(-1)^{n-i}$$ Así $$|n!c_n|=|\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} f(i)(-1)^{n-i}|\le \sum_{i=0}^{n}|\binom{n}{i} f(i)(-1)^{n-i}|\le \sum_{i=0}^{n}2^i\binom{n}{i}=3^n$$ Combinado con $c_n\in \mathbb{Z}/{0}$ esto lleva a $n\le 6$.

Dado que hemos demostrado que para cualquier grado $n$ dado solo hay un número finito de polinomios que cumplen la condición, podemos concluir que el polinomio que cumple la condición es finito.