Cada vez que leo acerca de una teoría en matemáticas, por lo general comienza con axiomatizing la mayoría de los conceptos fundamentales que van a ser tratadas.
Recientemente, he comenzado a encontrar a este preocupante. En la base de la crisis, hemos tratado de raíz todos los de las matemáticas en la teoría de conjuntos y construir desde allí. Creo que este es un supremamente elegante idea, pero tengo que preguntarme por qué.
Entiendo por qué los axiomas son los ladrillos de la pared contra la que todos infinito regresiones accidente. No podemos, después de todo, preguntar el porqué de las cosas indefinidamente. Debe llegar un momento en que simplemente decir: porque lo es.
Pero, ¿por qué? ¿Qué pasa si tiramos de la lógica de la ventana e intenta empezar todo desde cero?
He leído acerca del modelo y de la categoría de la teoría y de todos los tipos de orden de la lógica, pero ninguno de ellos parece ser suficiente, ya que todos ellos están arraigados en algo que, finalmente, conduce a lo que se denomina "verdad evidente". Lo que si infinito regresiones son similares a la serie infinita: algo que al principio se pensó que era no sensical pero en realidad resulta ser realmente útil?
Mi pregunta es: hay maneras de construir las matemáticas sin axiomatizing? Si no, hay una prueba?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Recuerdo leer el resumen de un artículo (o la descripción de un libro tal vez) que reivindica para responder a esta utilización de los principios de la biología evolutiva; en esencia, el autor realiza de las diferentes simulaciones lo que sugiere que los organismos que tomar, ya que su lógica de fondo, otra cosa que $2$valores de la lógica booleana, tienden a morir en el largo plazo. Creo que si buscas en Google, usted probablemente será capaz de excavar algo en ese sentido.
Se podría objetar: ah, pero estamos usando la lógica clásica para construir simulaciones por ordenador e interpretar el resultado de las simulaciones. Que la circular! Mi sensación es que en realidad, esto no es circular (pero mis pensamientos sobre esto no son suficientemente desarrollada que vale la pena yo tratando de escribir aquí.)
Gödels teoremas de la incompletitud son ampliamente interpretarse en el sentido de que es imposible construir un sistema de razonamiento que puede llegar a ser consistente. Como tal, es casi universalmente considerado que es imposible construir mathemathics sin comenzando con un poco de "auto-evidente" axiomas.
El artículo de la Wikipedia explica los detalles de los teoremas mejor que yo puede hacerlo aquí y también incluye bocetos de varios métodos de prueba de los teoremas.
La matemática es acerca de las ideas (a veces muy grandes ideas) el cual debe ser formulado, porque no hay visibles los objetos matemáticos en realidad a confiar. Podemos formular estas ideas utilizando algún lenguaje humano enriquecido con símbolos matemáticos y definiciones (también es posible expresar en lenguaje humano).
La principal definición matemática es la matemática de la instrucción'. Ordinario declaraciones son a menudo vagos con un montón de implícito, sin especificar la información que se le atribuye y interpretarse de forma diferente dependiendo de la personalidad y de las circunstancias, porque la realidad es demasiado compleja, mientras que los enunciados matemáticos acerca de los modelos formales es cierto o no es cierto.
Todas las matemáticas es acerca de los modelos formales y todos los modelos formales se define por los axiomas. La lógica funciona cuando se utiliza inteligente, porque es coherente. Cualquier sistema coherente de trabajo para aquellos que saben cómo usarlo.
Sentado en una mesa con las piezas de un rompecabezas, literalmente y en sentido figurado, trabaja para el uso de un consistente sistema de clasificación: trae orden y progreso. La lógica incluye reglas para clasificar declaraciones como verdadero o no verdadero en una manera consistente.
No sabemos que sabemos que la lógica que estamos utilizando obras. Hay un incontable número de posibles sistemas lógicos y no puede haber una razón lógica para seleccionar una lógica del sistema sobre otro.
La decisión de seleccionar un sistema lógico es más el resultado de la historia y de la capacidad para crear los resultados que son útiles y agradables para los matemáticos.
