¿Cómo entender el "tensor" en el álgebra conmutativa?

Question

El tensor es sin duda un concepto importante en el álgebra conmutativa, pero la definición es un poco abstracta, ¿hay alguna manera de entenderlo que sea más fácil? Gracias por adelantado.

La definición que veo es la que definen los módulos.

Proposición 2.12. Dejemos que $M, N$ sea $A$ -módulos. Entonces existe un par $(T,g)$ que consiste en un $A$ -Módulo $T$ y un $A$ -Mapeo bilineal $g \colon M \times N \to T$ con la siguiente propiedad:

Dado cualquier $A$ -Módulo $P$ y cualquier $A$ -Mapeo bilineal $f \colon M \times N \to P$ existe un único $A$ -mapeo lineal $f' \colon T \to P$ tal que $f = f' \circ g$ (en otras palabras, toda función bilineal sobre $M \times N$ factores a través de $T$ ).

Además, si $(T,g)$ y $(T',g')$ son dos pares con esta propiedad, entonces existe un isomorfismo único $j \colon T \to T'$ tal que $j \circ g = g'$ .

Answer 1

Piensa en el producto tensorial de dos módulos como un objeto que se construye a partir de los módulos originales, pero con la linealidad codificada en cada variable por separado. Esto significa que, a diferencia de tomar una suma en ambas variables simultáneamente como en un producto directo: $(m,n) + (m',n') = (m+m',n+n')$ Las operaciones son naturalmente "una variable a la vez", como en: $m \otimes n + m' \otimes n = (m+m') \otimes n$ . Del mismo modo, la multiplicación por un escalar se realiza una variable a la vez: $\alpha(m \otimes n) = (\alpha m) \otimes n$ en lugar de las dos variables a la vez como en un producto directo.

Esto se expresa mejor en términos de mapas, donde la propiedad universal nos dice exactamente cómo se construye el producto tensorial para codificar la bilinealidad: esencialmente por definición, el producto tensorial es un artilugio que transforma los mapas bilineales $M \times N \to P$ sur lineal mapas $M \otimes N \to P$ . Como tal, simplifica enormemente el estudio de los mapas bilineales. (Y, análogamente, el estudio de los mapas multilineales se simplifica en el estudio de los mapas lineales fuera del producto tensorial de varios módulos).

Concluyamos con un ejemplo concreto: el mapa de determinantes $\det:M_n(\mathbb{K})\cong (\mathbb{K}^n)^{\oplus n} \to \mathbb{K}$ es el único $n$ -mapa alternativo lineal tal que $\det(I) = 1$ . (Lo vemos como un $n$ -mapa lineal que toma $n$ columnas, es decir, elementos de $\mathbb{K}^n$ -como entrada). Para considerar este mapa de forma abstracta en términos de lineal de álgebra, podemos utilizar productos tensoriales para codificar la multilinealidad. Así que el determinante debe ser un lineal mapa del $n$ -producto tensorial doble, $\det:(\mathbb{K}^n)^{\otimes n} \to \mathbb{K}$ , excepto que esto no se ocupa de la propiedad de alternancia. Para remediarlo, pasamos a un cociente de la potencia del tensor, denotado $(\mathbb{K}^n)^{\wedge n}$ y llamó a la energía exterior , fuera de la cual los mapas, vistos como mapas del producto tensorial, se convierten en alternativos. Finalmente, como $\dim_\mathbb{K}\operatorname{Hom}((\mathbb{K}^n)^{\wedge n},\mathbb{K}) = 1$ la condición $\det(I) = 1$ señala una base preferente en este espacio unidimensional y nos da el mapa determinante.

Answer 2

Empecemos con los mapas bilineales. En particular, elijamos un mapa $f:M\times N\to P$ . Consideremos ahora los pares $(u,\alpha v)$ y $(\alpha u,v)$ donde $u\in M$ , $v\in N$ y $\alpha$ es un escalar. Encontramos que $f(u,\alpha v)=\alpha f(u,v) = f(\alpha u, v)$ y esto lo hace no depende del mapa bilineal que hayamos elegido. En otras palabras, en lo que respecta a los mapas bilineales, no hay diferencia entre los pares $(u,\alpha v)$ y $(\alpha u,v)$ .

Por lo tanto, surge una pregunta natural: ¿Podemos escribir un objeto que capture exactamente las características de los pares de vectores que son esenciales para el mapa bilineal? Es decir, ¿podemos tener un conjunto $T$ y una función $g:M\times N\to T$ para que $g(u,v) = g(u',v')$ exactamente si para cualquier mapa bilineal $f$ tenemos $f(u,v)=f(u',v')$ ?

Obviamente, si podemos encontrar tal función $g$ entonces podemos escribir cualquier mapa bilineal como $f = f'\circ g$ donde $f'$ mapea objetos de $T$ à $P$ . Al fin y al cabo, por definición los objetos de $T$ capturan exactamente las propiedades de los pares de vectores que son relevantes para $f$ .

Ahora, como estamos haciendo álgebra lineal, nos gustaría además $T$ para ser también un espacio lineal, y $f'$ ser lineal. No es difícil ver que en este caso, la función $g$ tiene que ser bilineal.

El teorema que has citado ahora dice que tal función $g$ no sólo existe siempre, sino que además es única hasta los isomorfismos.