resolver este problema de 1999 con la geometría

Question

si $\bigodot P\bigcap \bigodot Q=A,B$,y la tangente común es $C,D$,e $E\in BA$,e $EC\bigcap \bigodot P=F,ED\bigcap \bigodot Q=G$,y si $\angle FAH=\angle HAG$

mostrar que $$\angle FCH=\angle GDH$$

parece duro, yo no puedo obtener esta respuesta

Para Weijie Chen respuesta,entonces, he de agregar un higo,vamos que claro de entender

Answer 1

No es tan difícil, pero me tomó de 1h.

Aquí está mi solución (por desgracia yo no encontrado en el concurso en AoPS):

Vamos $M=CD\cap FG$, $X=MA\cap \bigodot P$ y $Y=MA\cap \bigodot Q$ diferente de la A.

Observar que si $\bigodot (CHD)$ es tangente a $FG$ nos debe terminar (ángulo persiguiendo).

Observe que la tangente de $M$ a cualquier círculo que pasa a través de $CD$ tiene la misma longitud. Porque es el poder desde el punto de $M$. Y nos afirmo que la duración es $MA$.

Prueba: $MC^2=MX\cdot MA$ $MD^2=MA\cdot MY$ , es fácil mostrar que $XCDY$ es cíclico, así que tenemos $MX\cdot MY=MC\cdot MD$ por lo tanto $MC\cdot MD=MA^2$

Así que si tenemos la prueba de que $MA=MH$ queremos terminar. Que es fácil, ya que $\bigodot(FAG)$ es tangente a $MA$ porque $CDFG$ es cíclico (bastante obvio) por lo tanto $MC\cdot MD=MA^2=MF\cdot MG$. Esto significa que $\angle FAM=\angle AGF$ ahora por el ángulo persiguiendo podemos demostrar que $\angle MHA=\angle MAH$ por lo tanto $MH=MA$ y listo.

Si hay algo que está claro, por favor hágamelo saber.