Dejemos que $R$ sea cualquier anillo libre de rango $k$ en $\mathbb{Z}$ que tiene un discriminante distinto de cero. Sea $R^{\otimes k} = R \otimes_{\mathbb{Z}} \cdots \otimes_{\mathbb{Z}} R$ . Entonces $R^{\otimes k}$ es un anillo de rango $k^k$ en el que $\mathbb{Z}$ se encuentra naturalmente como un subring a través de $n \rightarrow n(1 \otimes \cdots \otimes 1)$ . Denote por $I_R$ el ideal en $R^{\otimes k}$ generado por elementos de la forma $$ x \otimes \cdots \otimes 1 + 1 \otimes x \cdots \otimes 1 + \cdots + 1 \otimes \cdots \otimes x - \text{Tr} (x) $$ para $x \in R$ . Sea $$ J_R = \{ r \in R^{\otimes k} : nr \in I_R \text{ for some } n \in \mathbb{Z} \}. $$ Entonces el anillo $$ R^{\otimes k} / J_R $$ tiene rango $k!$ . He estado tratando de averiguar por qué este anillo tiene rango $k!$ pero aún no lo veo del todo. Agradecería cualquier explicación. Muchas gracias.
PS Este es un anillo que aparece en ``Leyes de composición superior III'' de Manjul Bhargava.
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Lo siento, no estoy seguro de cuál es el patrón de ese formulario. ¿Es algo obvio que me estoy perdiendo?
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@jgon Cada sumando es un montón de $1$ s con $\otimes$ s en medio, excepto con uno de los $1$ s sustituido por un $x$ .
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@arctictern oh cierto, eso tiene sentido entonces