¿Cómo completar la prueba de Vakil de que la composición de morfismos proyectivos es proyectiva cuando el objetivo es cuasicompacto?

Question

Para esta cuestión, un morfismo $\pi : X \rightarrow Y$ es proyectiva si existe un haz cuasicoherente de tipo finito $\mathcal{E}$ en $Y$ tal que $X$ es isomorfo (como $Y-$ ) a un subesquema cerrado de $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ . Estoy interesado en encontrar una manera de resolver este problema tal y como se presenta en Vakil, y no en resolverlo utilizando métodos completamente diferentes (como los que se pueden encontrar en, por ejemplo, EGA II $5.5.5$ o la etiqueta Stacks $01W7$ aunque bajo los supuestos adicionales de que $Y$ es cuasi separada o noetheriana).

En el ejercicio 17.3.B de los apuntes de "Fundamentos de la geometría algebraica" de Vakil, se pide demostrar que si $\pi : X\rightarrow Y$ y $\rho : Y \rightarrow Z$ son morfismos proyectivos y $Z$ es cuasi-compacto, entonces $\rho \circ \pi$ también es proyectiva. La pista que da es mostrar que en el caso en que $Z$ es afín, si $\mathcal{L}, \mathcal{M}$ son los haces de líneas muy amplios en $X,Y$ que viene de tirar hacia atrás el respectivo $\mathcal{O}(1)$ de los haces proyectivos $X$ y $Y$ son subesquemas cerrados de, entonces hay algún $m$ tal que $\mathcal{L}\otimes \pi^*(\mathcal{M})^{\otimes m}$ es $\rho\circ \pi-$ muy amplio. A continuación, sugiere utilizar esa $Z$ es cuasicompacto para cubrirlo por un número finito de piezas afines abiertas, pero no puedo averiguar cómo usar esto para demostrar el resultado. Mi primer instinto sería pegar los morfismos construidos sobre cada trozo afín, o extender la construcción globalmente, pero en este caso ninguno de los dos enfoques funciona.

Puedo ver que cubrir $Z$ por un número finito de piezas afines $U_i$ nos permite encontrar un $m$ tal que $\mathcal{L}\otimes \pi^*(\mathcal{M})^{\otimes m}$ es $\rho \circ \pi-$ relativamente muy amplia al restringirse a cada $(\rho \circ \pi)^{-1}(U_i)$ pero no entiendo cómo usar esto para demostrar que es globalmente $\rho \circ \pi-$ relativamente muy amplio. Vakil menciona varias veces (y más tarde demuestra) que con hipótesis localmente noetherianas, la propiedad de que un haz de líneas en el origen sea relativamente muy amplio puede comprobarse afín-localmente en el objetivo, lo que terminaría la prueba si $Z$ era noetheriano, pero esto no forma parte de la hipótesis de $17.3.B$ .

Mi pregunta entonces es la siguiente:

¿Es posible terminar esta aproximación al ejercicio, quizás mostrando que $\mathcal{L}\otimes \pi^*(\mathcal{M})^{\otimes m}$ es $\rho \circ \pi-$ relativamente muy amplio globalmente dado que es localmente? ¿O es que realmente hay que asumir que $Z$ es noetheriano, o bien adoptar un enfoque completamente diferente de la prueba (como caracterizar los morfismos proyectivos a los esquemas cuasicompactos como aquellos que o bien son cuasiproyectivos y propios)?

Answer 1

Editar. He decidido reescribir una prueba. Sin embargo, todavía necesito la cuasi-separación.

Teorema [Pila, Etiqueta 0C4P ] . Supongamos que $\pi\colon X \to Y$ y $\rho\colon Y \to Z$ son morfismos proyectivos, y $Z$ es cuasi-compacto y cuasi-separado. Entonces, $\pi \circ \rho$ es proyectiva.

Prueba. Dejemos que $\mathscr{M}$ sea el $\rho$ -muy amplio haz de líneas en $Y$ . Dejemos que $X \hookrightarrow \mathbf{P}_Y(\mathscr{E})$ sea la incrustación cerrada que factoriza $\pi$ , donde $\mathscr{E}$ es una gavilla cuasicoherente de tipo finito sobre $Y$ . Ahora afirmamos lo siguiente:

Reclamo clave. Existe una gavilla cuasi-coherente de tipo finito $\mathscr{G}$ en $Z$ y un suryecto $$\rho^*\mathscr{G} \twoheadrightarrow \mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}$$ para $m \gg 0$ .

Posponemos por ahora la prueba de la afirmación clave. Usando esta suryección, tenemos una secuencia de morfismos $$X \hookrightarrow \mathbf{P}_Y(\mathscr{E}) \cong \mathbf{P}_Y(\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}) \hookrightarrow \mathbf{P}_Y(\rho^*\mathscr{G})$$ cuya composición sigue siendo una incrustación cerrada. Además, tenemos un isomorfismo $$\mathbf{P}_Y(\rho^*\mathscr{G}) \cong \mathbf{P}_Z(\mathscr{G}) \times_Z Y$$ por [EGAII, 4.1.3.1].

A continuación, dejemos que $Y \hookrightarrow \mathbf{P}_Z(\mathscr{F})$ sea la incrustación cerrada que factoriza $\rho$ , donde $\mathscr{F}$ es una gavilla cuasicoherente de tipo finito sobre $Z$ . Entonces, tenemos una incrustación cerrada $$X \hookrightarrow \mathbf{P}_Z(\mathscr{G}) \times_Z Y \hookrightarrow \mathbf{P}_Z(\mathscr{G}) \times_Z \mathbf{P}_Z(\mathscr{F})$$ y componiendo por la incrustación (relativa) de Segre [EGAII, §4.3], obtenemos una incrustación cerrada $$X \hookrightarrow \mathbf{P}_Z(\mathscr{G} \otimes \mathscr{F})$$ Desde $\mathscr{G}$ y $\mathscr{F}$ eran láminas cuasi-coherentes de tipo finito en $Z$ tenemos que $\pi \circ \rho$ es efectivamente proyectiva. $\blacksquare$

Volvemos ahora a la prueba de la afirmación clave. Aquí es donde utilizamos que $Z$ está casi separada.

Prueba de la reivindicación clave. Como los morfismos proyectivos son propios, podemos aplicar [Vakil, 17.3.9] para decir que $\mathscr{M}$ es de hecho $\rho$ -y así para $m \gg 0$ tenemos que $\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}$ es $\rho$ -generado globalmente, es decir, tenemos que el mapa canónico $$\rho^*\rho_*\!\left(\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}\right) \twoheadrightarrow \mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}$$ es una suryección. Por [Görtz-Wedhorn, 10.50] podemos escribir $$\rho_*\!\left(\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}\right) = \varinjlim \mathscr{G}_\lambda$$ para el sistema filtrado de subescalas cuasi-coherentes de tipo finito $\mathscr{G}_\lambda \subset \rho_*\!\left(\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}\right)$ . Desde $\rho^*$ es el adjunto izquierdo de $\rho_*$ preserva los colímetros, y la suryección anterior se convierte en una suryección $$\varinjlim \rho^*\mathscr{G}_\lambda \twoheadrightarrow \mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}$$ y por [Görtz-Wedhorn, 10.47], para $\lambda$ suficientemente grande, tenemos una suryección $$\rho^*\mathscr{G}_\lambda \twoheadrightarrow \mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}$$ como se desee. $\blacksquare$

Observación. He aquí posibles ideas para deshacerse de la suposición de cuasi-separación:

1. Intenta usar el caso afín. Ya que $\mathscr{M}$ es amplio, tenemos localmente las proyecciones $$\rho^*\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus n_i} \twoheadrightarrow \left.\left(\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m_i} \right)\right\rvert_{\rho^{-1}(U_i)}$$ en cada elemento $U_i$ de una cubierta afín abierta finita de $Z$ . Entonces, podríamos esperar pegar estas proyecciones de alguna manera. Un método es extender las láminas del lado izquierdo a láminas cuasi-coherentes de tipo finito en todas las $Z$ y utilizar [EGAInew, 6.9.10.1], pero eso sigue utilizando la cuasi-separación. La cuestión es que los teoremas de extensión para gavillas cuasi-coherentes de tipo finito necesitan la cuasi-separación para que sus argumentos de encolado funcionen; véase [EGAInew, 6.9; Görtz-Wedhorn, §10.11; Stacks, Tag 01PD ].
2. En la prueba anterior, para aplicar [Görtz-Wedhorn, 10.47], todo lo que necesitábamos era escribir $\rho_*\!\left(\mathscr{E} \otimes \mathscr{M}^{\otimes m}\right)$ como un colímite filtrado de gavillas cuasi-coherentes de tipo finito. Quizás se pueda hacer en este caso incluso sin cuasi-separación.

Observación. El proyecto Stacks [Stacks, Tag 0C4P ] también se restringe a $Z$ cuasi separada.