El Teorema Fundamental del Álgebra dice que "Cada función polinómica de grado $\ge1$ tiene al menos $1$ cero en el complejo sistema de número."
Mi pregunta es, donde hacer el resto de los ceros del polinomio mentira? Puede suceder que no pertenecen a la número complejo sistema? Sería entonces tenemos que pasar a un sistema de numeración más allá de los números complejos?
El teorema de mayo de así constar que toda ecuación polinómica de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces (contados con su multiplicidad). Las declaraciones son equivalentes, ya que, si su polinomio $p(z)$ grado $n$ tiene una raíz $\lambda$, entonces usted puede factor como
$$ p(z) = (z-\lambda)q(z), $$ donde el grado de $q$$n-1$, Entonces usted puede aplicar de forma recursiva el resultado a $q$, hasta llegar a un polinomio de grado 1.
Esta es una declaración de que el Teorema Fundamental del Álgebra que es completamente correcto, pero de una manera amable de oculta lo que realmente está pasando, si alguien no piensa acerca de lo que esto realmente significa...
Considere la posibilidad de un complejo polinomio $p(z) = a_0 + a_1z + ... + a_nz^n$. Por el teorema fundamental del álgebra, esto tiene por lo menos 1 cero. Es bien conocido el resultado de que cuando un polinomio tiene un cero en $r$ podemos escribir:
$$p(z) = (z-r)(b_0 + ... + b_{n-1}z^{n-1}) = (z-r)(q(z))$$
para algunos polinomio $q(z)$ grado $n-1$.
Por el teorema fundamental del álgebra tenemos que q(z) (siempre y cuando no es constante) tiene al menos 1 cero, así que el factor que cero y repetir hasta el grado de que aún no se ha factorizado parte (en este caso, $q(z)$) es constante. Una inducción argumento puede hacer esto mucho más formal.
La confusión se produce porque el cero de $q(z)$ puede ser el mismo que el cero de $p(z)$. Así que podríamos tener un grado $n$ polinomio $p(z)$ tiene sólo uno (distinta) de cero. Por ejemplo,$p(z) = (z+1)^n$. Este polinomio tiene sólo 1 distinto de cero, pero tiene multiplicty $n$.
Pero podemos usar el argumento de que yo había descrito anteriormente para la frase el teorema fundamental del álgebra de una manera diferente (o he oído que algunas personas afirman que este es un corolario):
Un polinomio no constante de grado $n$, contando multiplicidad, exactamente $n$ ceros.
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