Diferenciar el coeficiente binomial

Question

Me llevó a una conferencia en la combinatoria de este semestre y el profesor hizo el siguiente paso en una prueba: Él mostró que la función $f: x \mapsto \binom{x}{r}$ es convexa para $x > r - 1$ (en orden de uso de la desigualdad de Jensen en $f$) y lo hizo de la siguiente manera:

"Por el producto de la regla que hemos $$f''(x) = \frac{2}{r!} \sum_{0 \leq i < j \leq r - 1} \prod_{l = 0}^{r - 1} ( x - l) \frac{1}{(x - i ) (x - j)} \geq 0$$ for all $ x > r - 1$." I am a bit confused on his definition: How would one extend the binomial coefficient to $x \noen \mathbf{N}$? Primero pensé en la interpolación lineal a trozos, pero entonces yo no puedo diferenciarlos. También he pensado en conectar en la Gamma-función para la factoriales, pero dudo que sea la definición que se utiliza aquí.

¿Alguien puede explicarme qué está pasando aquí?

Gracias!

Answer 1

Una manera de escribir la (habitual) coeficiente binomial es $$\binom{n}{r}= \frac{\prod_{i=0}^{r-1}(n-i)}{r!}.$$

En esta expresión $n$ no tiene que ser un número entero para que tenga sentido. Este es el (o al menos uno) de manera de extender la definición.

Así $$\binom{x}{r}= \frac{\prod_{i=0}^{r-1}(x-i)}{r!}.$$

Answer 2

Como pequeño suplemento:

Una generalización del coeficiente binomial se utiliza en el binomio de la serie representación \begin{align*} (1+x)^\alpha=\sum_{r=0}^\infty\binom{\alpha}{r}x^r\qquad\qquad |x|<1, \,\alpha\in\mathbb{C} \end{align*} donde el coeficiente binomial \begin{align*} \binom{\alpha}{r}=\frac{1}{r!}\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-r+1) \end{align*} puede ser definido, incluso para las complejas $\alpha$. Esto implica que podemos considerar el coeficiente binomial como un valor real (o de valores complejos) polinomio de grado $r$ \begin{align*} &f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ &f(x)=\binom{x}{r}\\ &\qquad=\frac{1}{r!}x(x-1)\cdots(x-r+1) \end{align*} que es tan accesible para operaciones analíticas (diferenciación, etc.).

Y tienes razón, no es necesario involucrar a la Gamma-función aquí.