Descomponer $5^{1985}-1$ en factores

Question

Descomponer el número $5^{1985}-1$ en un producto de tres enteros, cada uno de ellos es mayor que $5^{100}$.

En primer lugar notamos la factorización $x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$. ¿Ahora a factorizar $x^4+x^3+x^2+x+1$ $$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) = x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1 = x^4+x^3+x^2+x+1$$ implies $ a + b = 1, ab + 2 = 1$. Thus, $% $ $x^4+x^3+x^2+x+1 = (x^2+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)x+1)(x^2+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+1).$es posible continuar desde este enfoque, porque ahora lo que tengo no es enteros o hay una mejor manera?

Answer 1

Trataría de factorización de Aurifeuillian aquí.

Sea $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ ciclotómicas quinto polinomio. Lo Aurifeuillian dice que $f(5x^2)$ factores en un producto así $$ f(5x^2) = \left(25 x^4-25 x^3+15 x^2-5 x+1\right) \left(25 x^4+25 x^3+15 x^2+5 x+1\right). $$ Llamar a esos dos factores en el lado derecho $g_1(x)$ y $g_2(x)$.

Su número es $$\begin{aligned} 5^{1985}-1&=(5^{397}-1)f(5^{397})\\ &=(5^{397}-1)g_1(5^{198})g_2(5^{198}), \end{alineado} $$ y esto se ajusta a la ley.

Answer 2

Ver aquí

http://factordb.com/index.php?Query=5%5E1985-1

para la factorización parcial de $5^{1985}-1$. Hay tres factores con $200$ dígitos o más. Ninguna idea de cómo los factores pueden ser expresados. Multiplicar uno de los factores con los factores más pequeños para obtener una descomposición de la forma deseada.

Answer 3

Una solución de baja tecnología. $1985=5\cdot 397$, y $ \Phi_5(x) $ es un palyndromic polinomio, descomponibles como $$ \left(x^2-\frac{x}{2}+1\right)^2-\frac{5}{4}x^2 \tag{1}$ $ o como: %#% $ #% que $$(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2 \tag{2}$ es la diferencia de dos cuadrados, $x=5^{397}$, siendo ambos $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y $a-b$ $a+b$. Por lo tanto, la afirmación sigue de $>5^{100}$ $