¿Por qué existe esta relación entre los cuaterniones y las matrices de Pauli?

Question

Acabo de empezar a estudiar mecánica cuántica, y me he encontrado con esta correlación entre las matrices de Pauli ( $\sigma_i$ ) y cuaterniones que no puedo comprender: a saber, que $i\sigma_1$ , $i\sigma_2$ y $i\sigma_3$ junto con la matriz de identidad 2x2 $I$ corresponden idénticamente a la representación de cuatro matrices 2x2 de los cuaterniones unitarios.

Mi primera conjetura fue que esto debería tener algo que ver con que los cuaterniones son útiles para representar orientaciones y rotaciones de objetos en tres dimensiones y las matrices de Pauli están relacionadas con las tres componentes espaciales del espín, pero no sabía muy bien cómo unir esas dos ideas. Google tampoco me ayudó mucho: la relación se menciona, por ejemplo, en este artículo de Wikipedia pero no se dan más explicaciones.

Aunque sospecho que no hay una respuesta directa a esta pregunta, agradecería que alguien me ilustrara sobre el tema. En concreto, ¿cuál es el papel del $i$ ¿Factor?

Answer 1

La respuesta a su pregunta es sencilla. En primer lugar, en $\mathrm{Cl3}$ (álgebra geométrica del espacio vectorial euclidiano 3D), los elementos de la parte par del álgebra son sólo cuaterniones.

En segundo lugar, la representación más sencilla de vectores ortonormales en $\mathrm{Cl3}$ son las matrices de Pauli. Además, tenemos un significado geométrico tanto de las matrices de Pauli como de los cuaterniones.

Answer 2

Todas las respuestas anteriores son muy buenas y esclarecedoras desde el punto de vista matemático. Me gustaría añadir una simple imagen física. Véase este artículo y la cita siguiente; http://wwwf.imperial.ac.uk/~jdg/nonlinquat.pdf Un cuaternión puede construirse a partir de un escalar s y un vector 3 r formando la tétrada q = [s,r] que se define por q = [s, r] = sI r - , donde r- = Sum(ri i); i=1-3, e I es la matriz unitaria 2 × 2. {1, 2, 3} son las matrices de espín de Pauli 1 = [0 1; i 0] , 2 = [0 1; 1 0] , 3 =[ i 0; 0 -i] , que obedecen a las relaciones; ij=ij I - ijk k . A partir de estas propiedades se puede determinar fácilmente una regla de multiplicación entre dos tétradas q1 = [s1, r1] y q2 = [s2, r2] q1 * q2 = [s1s2 r1 - r2, s1r2 + s2r1 + r1 × r2]''.

El artículo está en fluidos, así que cuál es la física que conecta a los dos. La radiación o los campos en general siguen ecuaciones de tipo hiperbólico: la ecuación de onda. Esta ecuación representa el avance en el espacio y en el tiempo y no permite ningún reflujo/vórtices/curvatura/giro. Para poder tener flujo en sentido inverso necesitamos una ecuación de tipo elíptico. Esto puede representar vórtices y espín. La ecuación de Dirac es elíptica mientras que la de Klein-Gordon es hiperbólica. Aquí es donde necesitamos las matrices de rotación/las matrices de Pauli o los cuaterniones. En el flujo de fluidos, la pared se encarga de desviar el flujo y crear vórtices y turbulencias. En el caso que nos ocupa, lo hace la "i" imaginaria, ya que multiplicar por i rota una cantidad 90 grados, como sabemos.

Answer 3

Para una explicación muy fácil y rápida, utilice un buscador para encontrar el artículo titulado "Los números imaginarios no son reales". A las ocho páginas tienes la respuesta.

Las matrices de Pauli son matemática y físicamente obtusas, una mala manera de enseñar algo, y mucho menos mecánica cuántica. En pocas palabras, los cuaterniones son la forma adecuada de pensar sobre el espín en 3D. Imaginemos dos objetos girando en dos planos separados perpendiculares entre sí en ese espacio dimensional superior. Dejemos que uno "multiplique" al otro. Literalmente, el primer elemento de la operación actúa sobre el segundo, desplazándolo al tercer plano que define el espacio y manteniendo su orientación de giro. La operación es anticomutativa: invierta el orden de los elementos que se multiplican y acabará en ese 3er plano, pero con el espín en la dirección opuesta.

Así es como interactúan las partículas giratorias. Es una función de la geometría del espacio, no una propiedad de las partículas.