¿Por qué existe esta relación entre los cuaterniones y las matrices de Pauli?

Question

Acabo de empezar a estudiar mecánica cuántica, y me he encontrado con esta correlación entre las matrices de Pauli ( $\sigma_i$ ) y cuaterniones que no puedo comprender: a saber, que $i\sigma_1$ , $i\sigma_2$ y $i\sigma_3$ junto con la matriz de identidad 2x2 $I$ corresponden idénticamente a la representación de cuatro matrices 2x2 de los cuaterniones unitarios.

Mi primera conjetura fue que esto debería tener algo que ver con que los cuaterniones son útiles para representar orientaciones y rotaciones de objetos en tres dimensiones y las matrices de Pauli están relacionadas con las tres componentes espaciales del espín, pero no sabía muy bien cómo unir esas dos ideas. Google tampoco me ayudó mucho: la relación se menciona, por ejemplo, en este artículo de Wikipedia pero no se dan más explicaciones.

Aunque sospecho que no hay una respuesta directa a esta pregunta, agradecería que alguien me ilustrara sobre el tema. En concreto, ¿cuál es el papel del $i$ ¿Factor?

Answer 1

1. A nivel de fórmulas, las tres unidades cuaterniónicas $i_a$ , $a\in~\{1,2,3\}$ , en $\mathbb{H}\cong \mathbb{R}^4$ satisfacer $$i_a i_b ~=~ -\delta_{ab} + \sum_{c=1}^3\varepsilon_{abc} i_c, \qquad\qquad a,b~\in~\{1,2,3\}, \tag{1}$$ mientras que los tres Matrices de Pauli $\sigma_a \in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ , $a\in~\{1,2,3\}$ , $\mathbb{C}=\mathbb{R}+\mathrm{i}\mathbb{R}$ , satisfacer $$\sigma_a \sigma_b ~=~ \delta_{ab} {\bf 1}_{2\times 2} + \mathrm{i}\sum_{c=1}^3\varepsilon_{abc} \sigma_c\quad\Leftrightarrow \quad \sigma_{4-a} \sigma_{4-b} ~=~ \delta_{ab} {\bf 1}_{2\times 2} - \mathrm{i}\sum_{c=1}^3\varepsilon_{abc} \sigma_{4-c}, $$ $$ \qquad\qquad a,b~\in~\{1,2,3\},\tag{2}$$ con unidad compleja $\mathrm{i}\in\mathbb{C}.$ En otras palabras, evidentemente tenemos una $\mathbb{R}$ -álgebra monomorfismo $$\Phi:\mathbb{H}\longrightarrow ~~{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{3}$$ ampliando la definición $$\Phi(1)~=~{\bf 1}_{2\times 2},\qquad \Phi(i_a)~=~\mathrm{i}\sigma_{4-a}, \qquad\qquad a~\in~\{1,2,3\},\tag{4}$$ vía $\mathbb{R}$ -linealidad. Esta observación responde esencialmente a la pregunta del título de la OP (v2).

2. Sin embargo, la pregunta de OP se refiere a muchos hechos matemáticos hermosos y útiles sobre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, algunos de los cuales nos gustaría mencionar. La imagen del $\mathbb{R}$ -monomorfismo de álgebra (3) es $$\Phi(\mathbb{H}) ~=~ \left\{\left. \begin{pmatrix} \alpha & \beta \cr -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \right| \alpha,\beta \in\mathbb{C}\right\}$$ $$~=~ \left\{ M\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \left| \overline{M} \sigma_2=\sigma_2 M\right. \right\}.\tag{5}$$ Identifiquemos por el resto de esta respuesta $\mathrm{i}=i_1$ . Entonces el $\mathbb{R}$ -(3) se convierte en $$ \mathbb{C}+\mathbb{C}i_2~=~\mathbb{H}~\ni~x=x^0+\sum_{a=1}^3 i_a x^a ~=~\alpha+\beta i_2$$ $$\stackrel{\Phi}{\mapsto} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \cr -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix} ~=~ x^0{\bf 1}_{2\times 2}+\mathrm{i}\sum_{a=1}^3 x^a \sigma_{4-a}~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),$$ $$ \alpha~=~x^0+\mathrm{i}x^1~\in~\mathbb{C},\qquad \beta~=~x^2+\mathrm{i}x^3~\in~\mathbb{C},\qquad x^0, x^1, x^2, x^3~\in~\mathbb{R}.\tag{6}$$

3. Se puede demostrar que $\Phi$ es un monomorfismo del álgebra estrellada, es decir, la matriz conjugada hermitiana satisface $$ \Phi(x)^{\dagger}~=~\Phi(\bar{x}), \qquad x~\in~\mathbb{H}. \tag{7}$$ Además, el determinante se convierte en el cuadrado de la norma cuaterniónica $$\det \Phi(x)~=~ |\alpha|^2+|\beta|^2~=~\sum_{\mu=0}^3 (x^{\mu})^2 ~=~|x|^2, \qquad x~\in~\mathbb{H}.\tag{8}$$ Mencionemos para completar que la matriz transpuesta satisface $$\Phi(x)^t~=~\Phi(x|_{x^2\to-x^2})~=~ \Phi(-j\bar{x}j), \qquad x~\in~\mathbb{H}. \tag{9} $$

4. Considere la Grupo de Lie de unidades cuaterniónicas, que es también el grupo de Lie $$U(1,\mathbb{H})~:=~\{x\in\mathbb{H}\mid |x|=1 \} \tag{10}$$ de unitario $1\times 1$ matrices con entradas cuaterniónicas. Las ecuaciones (7) y (8) implican que la restricción $$\Phi_|:~U(1,\mathbb{H})\stackrel{\cong}{\longrightarrow} SU(2)~:=~\{g\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})\mid g^{\dagger}g={\bf 1}_{2\times 2},~\det g = 1 \} $$ $$~=~\left\{\left. \begin{pmatrix} \alpha & \beta \cr -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix} \in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \right| \alpha, \beta\in\mathbb{C}, |\alpha|^2+|\beta|^2=1\right\}\tag{11}$$ del monomorfismo (3) es un isomorfismo de grupo de Lie. En otras palabras, hemos demostrado que

   $$ U(1,\mathbb{H})~\cong~SU(2).\tag{12}$$

5. Considere el correspondiente Álgebra de Lie de número cuaterniónico imaginario $$ {\rm Im}\mathbb{H}~:=~\{x\in\mathbb{H}\mid x^0=0 \}~\cong~\mathbb{R}^3 \tag{13}$$ dotado del soporte de Lie del conmutador. [Esto es (dos veces) el 3D producto vectorial cruzado disfrazada]. El isomorfismo del álgebra de Lie correspondiente es $$\begin{align}\Phi_|:~{\rm Im}\mathbb{H}\stackrel{\cong}{\longrightarrow} su(2)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})\mid m^{\dagger}=-m \}\cr ~=~&\mathrm{i}~{\rm span}_{\mathbb{R}}(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3),\end{align}\tag{14}$$ lo que nos lleva de nuevo a las matrices de Pauli. En otras palabras, hemos demostrado que

   $$ {\rm Im}\mathbb{H}~\cong~su(2).\tag{15}$$

6. Ahora también es fácil entrar en contacto con las representaciones de los espinores de Weyl izquierdo y derecho en el espaciotiempo 4D $\mathbb{H}\cong \mathbb{R}^4$ dotado de la norma cuaterniónica $|\cdot|$ que tiene firma euclidiana definida positiva (en contraposición a la de Minkowski), aunque aquí sólo haremos un esbozo. Véase también, por ejemplo este Correo de Phys.SE.

   En primer lugar, $U(1,\mathbb{H})\times U(1,\mathbb{H})$ es (la doble cubierta de) el grupo ortogonal especial $SO(4,\mathbb{R})$ .

   La representación del grupo $$\rho: U(1,\mathbb{H}) \times U(1,\mathbb{H}) \quad\to\quad SO(\mathbb{H},\mathbb{R})~\cong~ SO(4,\mathbb{R}) \tag{16}$$ viene dada por $$\rho(q_L,q_R)x~=~q_Lx\bar{q}_R, \qquad q_L,q_R~\in~U(1,\mathbb{H}), \qquad x~\in~\mathbb{H}. \tag{17}$$ El punto crucial es que el acción de grupo (17) preserva la norma y, por tanto, representa transformaciones ortogonales. Véase también este Pregunta de math.SE.

   En segundo lugar, $U(1,\mathbb{H})\cong SU(2)$ es (la doble cubierta de) el grupo ortogonal especial $SO({\rm Im}\mathbb{H},\mathbb{R})\cong SO(3,\mathbb{R})$ .

   Esto se deduce mediante una restricción diagonal $q_L=q_R$ en la ec. (17).

Answer 2

1. Matrices de Pauli-Rotaciones-Matrices unitarias especiales $\:\mathrm{SU}(2)\:$

Cualquier vector en $\mathbb{R}^3$ puede representarse mediante un $2\times2$ matriz traceless hermitiana y viceversa. Por lo tanto, existe una biyección (correspondencia uno a uno y onto) entre $\mathbb{R}^3$ y el espacio de $2\times2$ matrices hermitianas sin trazas, sea $\mathbb{H}$ : \begin{equation} \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3\;\longleftrightarrow \; X= \begin{bmatrix} & x_3 & x_1-ix_2 \\ & x_1+ix_2 & -x_3 \end{bmatrix} \en \mathbb{H} \tag{001} \fin A partir de la base habitual de $\mathbb{R}^3$ \begin{equation} \mathbf{e}_{1}=\left(1,0,0\right),\quad \mathbf{e}_{2}=\left(0,1,0\right),\quad \mathbf{e}_{3}=\left(0,0,1\right) \tag{002} \end{equation} construimos una base para $\mathbb{H}$ \begin{eqnarray} \mathbf{e}_1 &=&(1,0,0)\qquad \longleftrightarrow \qquad \sigma_1= \begin{bmatrix} &0&1&\\ &1&0& \end{bmatrix} \tag{003a}\tag{003a} \Cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado 2 \begin{bmatrix} &0&-i\\ &i&0 \end{bmatrix} \tag{003b}\tag{003b} &=&(0,0,1)\qquad \longleftrightarrow \qquad \qquad \qsigma_3= \begin{bmatrix} &1&0\\ &0&-1 \end{bmatrix} \tag{003c} \fin{eqnarray} donde $\:\boldsymbol{\sigma}\equiv(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\:$ las matrices de Pauli (1) esencialmente las componentes del espín $\:s=1/2\:$ momento angular por un factor $\:1/2\:$ \begin{equation} S_1=\dfrac{1}{2}\sigma_{1}\;, \quad S_2=\dfrac{1}{2}\sigma_{2}\;, \quad S_3=\dfrac{1}{2}\sigma_{3}, \quad \text{or} \quad \mathbf{S}=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{\sigma} \tag{004} \end{equation} Supongamos ahora que el vector $\:\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\:$ se gira alrededor de un eje con vector unitario $\:\mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)$ a través de un ángulo $\theta$ (2) \begin{equation} \mathbf{x}^{\prime}= \cos\theta \;\mathbf{x}+(1-\cos\theta)\;(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{x})\;\mathbf{n}+\sin\theta\;(\mathbf{n}\boldsymbol{\times}\mathbf{x}) \tag{005} \end{equation} y dejar a los vectores $\:\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime}\:$ corresponden a las matrices \begin{eqnarray} X & \equiv & \mathbf{x}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sigma} = x_1\sigma_1+x_2\sigma_2+x_3\sigma_3= \begin{bmatrix} x_3&x_1-ix_2\\ x_1+ix_2&-x_3 \end{bmatrix} \tag{006a}\tag{006a}\tag{006a}\tag{006a}\a}\a X{'} & \equiv & \mathbf{x}{'}bolsymbol{\cdot} \boldsymbol{\cdot} = x_1^{'}sigma_1+x_2^{'}sigma_2+x_3^{'}sigma_3= \begin{bmatrix} x^{'}_3&x^{'}_1-ix^{'}_2\\ x^{'}_1+ix^{'}_2&-x^{'}_3 \end{bmatrix} \tag{006b} \end{eqnarray}

Tomando el producto interior de la ecuación (005) con $\boldsymbol{\sigma}$ \begin{equation} (\mathbf{x}{'}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}) = \cos\theta(\mathbf{x}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma})+(1-\cos\theta)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{x})(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma})+\sin\theta[(\mathbf{n}\boldsymbol{\times}\mathbf{x})\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma})] \tag{007} \end{equation}
tenemos \begin{equation} X{'} = \cos\theta \;X+(1-\cos\theta)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{x})N+\sin\theta[(\mathbf{n}\boldsymbol{\times}\mathbf{x})\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma})] \tag{008} \end{equation} donde \begin{equation} N \equiv \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}= \begin{bmatrix} n_3&n_1-in_2\\ n_1+in_2&-n_3 \end{bmatrix} \tag{009} \end{equation}

Tras una elaboración no tan sencilla la ecuación (008) resulta ser \begin{equation} X{'}=\left[I\cos\frac{\theta}{2}-i(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sigma})\sin\frac{\theta}{2} \right]\;X\;\left[I\cos\frac{\theta}{2}+i(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma})\sin\frac{\theta}{2} \right] \tag{010} \end{equation} y de forma compacta \begin{equation} X{'}=U\;X\;U^{\boldsymbol{*}} \tag{011} \end{equation} donde
\begin{equation} U\equiv \cos\frac{\theta}{2}-i(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sigma})\sin\frac{\theta}{2} \tag{012} \end{equation} con conjugado hermitiano \begin{equation} U^{\boldsymbol{*}}=I\cos\frac{\theta}{2}+i(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sigma})\sin\frac{\theta}{2} \tag{013} \end{equation} Elegimos el $2 \times 2$ matriz compleja $U$ para representar la rotación (005).

Ahora, debido a la identidad \begin{equation} (\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\sigma})^2=\left\|\mathbf{n}\right\|^{2} I=I \tag{014} \end{equation} tenemos \begin{equation} UU^{\boldsymbol{*}}=I=U^{\boldsymbol{*}}U \tag{015} \end{equation} Los operadores con esta propiedad se denominan operadores unitarios, símbolo $\:\mathrm{U}(2)\:$ para nuestro caso, y en general $\:\mathrm{U}(n)\:$ para $n \times n$ matrices complejas. Cualquier matriz unitaria $\:U\:$ tiene como determinante un número complejo unitario $\:\det(U)=e^{i\phi}, \phi \in \mathbb{R}\:$ .

Una expresión explícita de $U$ en (012) es \begin{equation} U= \begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}n_{3} & & -\sin\frac{\theta}{2}\left( n_{2}+in_{1}\right) \\ \sin\frac{\theta}{2}\left( n_{2}-in_{1}\right) & & \cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}n_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta^{\boldsymbol{*}} & \alpha^{\boldsymbol{*}} \end{bmatrix} \tag{016} \end{equation}
donde aquí \begin{equation} \alpha =\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}n_{3} \qquad \beta=-\sin\frac{\theta}{2}\left( n_{2}+in_{1}\right) \tag{017} \end{equation} sino más generalmente $\left(\alpha,\beta \right)$ cualquier par de números complejos que satisfagan la condición \begin{equation} \alpha \alpha^{\boldsymbol{*}}+\beta\beta^{\boldsymbol{*}}=\left\|\alpha\right\|^2 + \left\|\beta\right\|^2=1 \tag{018} \end{equation} Por lo tanto, la matriz unitaria $\:U\:$ en (012) tiene como determinante la unidad real positiva $\:\det(U)=+1\:$ . Matrices unitarias con $\:\det(U)=+1\:$ se denominan unitarios especiales y el símbolo del conjunto es $\:\mathrm{SU}(n)\:$ en general. Así, para la matriz unitaria $\:U\:$ en (012) tenemos $\:U \in \mathrm{SU}(2)\:$ .

2. Cuaterniones-Rotaciones

La representación matricial unitaria (016) se simplifica si definimos las siguientes cantidades \begin{align} \mathbf{1} & \equiv I = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \tag{019a}\tag{019a} \y equiv -i_sigma_1} = \begin{bmatrix} 0&-i\\ -i&0 \end{bmatrix} \tag{019b}\\tag{019b} \y equiv -i\sigma_{2} = \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix} \tag{019c}\tag{019c} \y equiv -i\sigma_{3} = \begin{bmatrix} -i&0\\ 0&i \end{bmatrix} \tag{019d} \end{align}

con propiedades \begin{equation} \mathbf{i}^{2}=\mathbf{j}^{2}=\mathbf{k}^{2}=-\mathbf{1} \tag{020} \end{equation} \begin{equation} \mathbf{i} \cdot \mathbf{j}=\mathbf{k}=-\mathbf{j}\cdot \mathbf{i} \quad , \quad \mathbf{j} \cdot \mathbf{k}=\mathbf{i}=-\mathbf{k}\cdot \mathbf{j} \quad , \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{i}=\mathbf{j}=-\mathbf{i}\cdot \mathbf{k} \tag{021} \end{equation} \begin{equation} \mathbf{i} \cdot \mathbf{j}\cdot \mathbf{k}= -\mathbf{1} \tag{022} \end{equation}

Entonces \begin{equation} U= \left(\cos\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{1}+\left(n_{1}\sin\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{i}+\left(n_{2}\sin\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{j}+\left(n_{3}\sin\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{k} \tag{023} \end{equation} y ajuste \begin{equation} \cos\frac{\theta}{2}\equiv q_{0}\quad , \quad n_{1}\sin\frac{\theta}{2} \equiv q_{1} \quad , \quad n_{2}\sin\frac{\theta}{2} \equiv q_{2} \quad , \quad n_{3}\sin\frac{\theta}{3} \equiv q_{3} \tag{024} \end{equation} tenemos \begin{equation} U= q_{0}\mathbf{1}+ q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k} \quad , \quad q_{\kappa}\in \mathbb{R}\quad , \quad q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1 \tag{025} \end{equation} Inversamente, una expresión $ U $ definido por (025) representa una rotación con parámetros
$ \mathbf{n},\theta $ determinado por las ecuaciones (024).

Si en la ecuación (012) sustituimos $\theta$ por $-\theta$ o exclusivamente $\mathbf{n}$ por $-\mathbf{n}$ entonces tenemos la rotación inversa \begin{equation} U^{-1}= I\cos\frac{\theta}{2}+i(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma})\sin\frac{\theta}{2}\equiv U^{\boldsymbol{*}} \tag{026} \end{equation} y así \begin{equation} U^{-1}=U^{\boldsymbol{*}}= q_{0}\mathbf{1}-q_{1}\mathbf{i}-q_{2}\mathbf{j}-q_{3}\mathbf{k} \quad , \quad q_{\kappa}\in \mathbb{R}\quad , \quad q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1 \tag{027} \end{equation} Ignorar la enfermedad \begin{equation} q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1 \tag{028} \end{equation} definimos el denominado cuaterniones por \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{Q}}= q_{0}\mathbf{1}+ q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k} \quad , \quad q_{\kappa}\in \mathbb{R} \tag{029} \end{equation} Por analogía con las propiedades de los números complejos \begin{equation} z=a+ib \quad , \quad z^{\boldsymbol{*}}=\text{conjugate of } z =a-ib \quad , \quad \Vert z \Vert ^{2}=zz^{\boldsymbol{*}}=a^{2}+b^{2} \tag{030} \end{equation}
definimos el conjugado de cuaternión $\boldsymbol{\mathsf{Q}}$ ser \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{Q}}^{\boldsymbol{*}}= q_{0}\mathbf{1}- q_{1}\mathbf{i}-q_{2}\mathbf{j}-q_{3}\mathbf{k} \tag{031} \end{equation} pero como, haciendo uso de las propiedades (020) y (021), la expresión $\boldsymbol{\mathsf{Q}}\boldsymbol{\mathsf{Q}}^{\boldsymbol{*}}$ no es un número sino un múltiplo escalar del cuaternión identidad \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{Q}}\boldsymbol{\mathsf{Q}}^{\boldsymbol{*}}= \left( q_{0}\mathbf{1}+q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k}\right) \left( q_{0}\mathbf{1}- q_{1}\mathbf{i}-q_{2}\mathbf{j}-q_{3}\mathbf{k}\right)=\left( q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right) \mathbf{1} \tag{032} \end{equation} definimos la norma del cuaternión $\boldsymbol{\mathsf{Q}}$ de (029) sea
\begin{equation} \Vert \boldsymbol{\mathsf{Q}} \Vert ^{2}=q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2} \tag{033} \end{equation} Como el espacio de los números complejos \begin{equation} \mathbb{C} \equiv \lbrace z: z=a+ib \quad a,b \in \mathbb{R}\rbrace \tag{034} \end{equation} es en muchos aspectos idéntico al espacio real bidimensional $\mathbb{R}^{\boldsymbol{2}}$ por lo que el espacio de cuaterniones \begin{equation} \mathcal{Q} \equiv \lbrace \boldsymbol{\mathsf{Q}}:\boldsymbol{\mathsf{Q}}= q_{0}\mathbf{1}+ q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k} \; , \; q_{\kappa}\in \mathbb{R}\rbrace \tag{035} \end{equation} es idéntico al espacio real de 4 dimensiones $\mathbb{R}^{\boldsymbol{4}}$ .

Un cuaternión de norma unitaria \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{Q}}= q_{0}\mathbf{1}+ q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k} \; , \;q_{\kappa}\in \mathbb{R} \; ,\; \Vert \boldsymbol{\mathsf{Q}} \Vert ^{2}=q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1 \tag{036} \end{equation} o cualquier cuaternión normalizado, $\;\boldsymbol{\mathsf{Q}}/\Vert \boldsymbol{\mathsf{Q}} \Vert\;$ representa una rotación única en el espacio real tridimensional $\mathbb{R}^{\boldsymbol{3}}$ pero inversamente a cualquier rotación corresponde un par $\; \lbrace\boldsymbol{\mathsf{Q}},-\boldsymbol{\mathsf{Q}}\rbrace\; $ donde $\;\boldsymbol{\mathsf{Q}}\;$ es un cuaternión de norma unitaria.

Sean los cuaterniones $\;\boldsymbol{\mathsf{Q}},\boldsymbol{\mathsf{P}} \in \mathcal{Q}$ \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{Q}}= q_{0}\mathbf{1}+ q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k} \quad , \quad \boldsymbol{\mathsf{P}}= p_{0}\mathbf{1}+ p_{1}\mathbf{i}+p_{2}\mathbf{j}+p_{3}\mathbf{k} \tag{037} \end{equation} Utilizando las propiedades (020) y 021) su producto es \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{P}}\boldsymbol{\mathsf{Q}}= \left( p_{0}\mathbf{1}+ p_{1}\mathbf{i}+p_{2}\mathbf{j}+p_{3}\mathbf{k}\right)\left( q_{0}\mathbf{1}+q_{1}\mathbf{i}+q_{2}\mathbf{j}+q_{3}\mathbf{k}\right) = h_{0}\mathbf{1}+h_{1}\mathbf{i}+h_{2}\mathbf{j}+h_{3}\mathbf{k}=\boldsymbol{\mathsf{H}} \tag{038} \end{equation} donde \begin{align} h_{0} & = q_{0}p_{0}-\left(\mathbf{q} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}\right) \tag{039a}\\ \mathbf{h} & = p_{0}\mathbf{q} +q_{0}\mathbf{p}- \left(\mathbf{q} \boldsymbol{\times} \mathbf{p}\right) \tag{039b} \end{align}
y $\;\mathbf{q},\mathbf{p},\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{\boldsymbol{3}}\;$ los vectores reales tridimensionales \begin{equation} \mathbf{q}= \left[q_{1},q_{2},q_{3}\right] \quad , \quad \mathbf{p}= \left[p_{1},p_{2},p_{3}\right] \quad , \quad \mathbf{h}= \left[h_{1},h_{2},h_{3}\right] \tag{040} \end{equation}

Tenga en cuenta que \begin{equation} \boldsymbol{\mathsf{H}}=\boldsymbol{\mathsf{P}}\boldsymbol{\mathsf{Q}}\Longrightarrow \Vert\boldsymbol{\mathsf{H}}\Vert ^{2}=\Vert\boldsymbol{\mathsf{P}}\Vert ^{2}\Vert\boldsymbol{\mathsf{Q}}\Vert ^{2} \tag{041} \end{equation}

Si ambos cuaterniones $\;\boldsymbol{\mathsf{Q}},\boldsymbol{\mathsf{P}}\;$ son de norma unitaria, $\;\Vert\boldsymbol{\mathsf{Q}}\Vert ^{2}=1=\Vert \boldsymbol{\mathsf{P}}\Vert^{2}\;$ representan rotaciones en $\;\mathbb{R}^{\boldsymbol{3}}$ y $\;\boldsymbol{\mathsf{H}}\;$ también es de norma unitaria, $\;\Vert\boldsymbol{\mathsf{H}}\Vert ^{2}=1\;$ que representa su rotación compuesta. En este caso las ecuaciones (039a) y (039b) son idénticas a (043a) y (043b) respectivamente, véase 3. Anexo con las siguientes sustituciones
\begin{align} q_{0} & = \cos\frac{\alpha}{2} & \mathbf{q}& = \sin\frac{\alpha}{2}\mathbf{n}_\alpha \tag{42a}\\ p_{0} & = \cos\frac{\beta}{2} & \mathbf{p}& = \sin\frac{\beta}{2}\mathbf{n}_\beta \tag{42b}\\ h_{0} & = \cos\frac{\phi}{2} & \mathbf{h}& = \sin\frac{\phi}{2}\mathbf{n} \tag{42c} \end{align}

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3. Anexo

En la figura anterior se muestra la rotación $U(\mathbf{n}_\phi,\phi)$ composición de dos rotaciones $U(\mathbf{n}_\alpha,\alpha)$ y $U(\mathbf{n}_\beta,\beta)$ aplicados en esta secuencia. Obsérvese que esta rotación compuesta viene determinada por las siguientes ecuaciones \begin{equation} \cos\frac{\phi}{2}=\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\left(\mathbf{n}_\alpha \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_\beta\right)\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}=\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\cos\omega\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2} \tag{043a} \end{equation} \begin{equation} \sin\frac{\phi}{2}\ \mathbf{n}_{\phi}= \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\ \mathbf{n}_\alpha+\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\ \mathbf{n}_\beta-\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\left(\mathbf{n}_\alpha \boldsymbol{\times} \mathbf{n}_\beta\right) \tag{043b} \end{equation}

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(1) Véase mi respuesta aquí como user82794 Construcción de matrices de Pauli

(2) Véase mi respuesta aquí Rotación de un vector

Answer 3

QMechanics te ha dado la respuesta directa en términos de isomosfismos de grupo. Así que por favor ve con eso, pero en caso de que vayas más allá en las matemáticas de los quarterions y sus aplicaciones en física encontrarás muchos giros y vueltas sobre este tema.

Personalmente encontré el libro Sobre cuaterniones y octoniones : Conway, Smith (2003) finalmente me dio algo de claridad sobre todo este tema. Resumiré algunos puntos clave. Disculpe si esto va un poco más allá de su pregunta original.

Los qauterniones forman parte de una serie de álgebras de división utilizadas por los matemáticos. Sólo se dan en dimensiones que son potencias de 2 pero sólo hasta 8, a saber:
1. Números reales
2. Números complejos
4. Quaterions
8. Octonians

Como debe saber, los números complejos unitarios están relacionados con las rotaciones en 2 dimensiones - cabría esperar que esto formara parte de un patrón y, de hecho, así se indica a grandes rasgos (a partir de la página 89):

• la multiplicación por números complejos unitarios genera rotaciones en 2 dimensiones
• la multiplicación por cuaterniones unitarios genera rotaciones en 4 dimensiones (no en 3 dimensiones - ¡ver más abajo!)
• la multiplicación por octoniones unitarios genera rotaciones en 8 dimensiones

La sutileza (que enlaza con tu pregunta) es que en 4 dimensiones hay 6 rotaciones (lo sabrás si has estudiado relatividad especial), así que en realidad necesitas 2 copias de los cuaterniones. Si te limitas a una sola copia, vuelves a las rotaciones en 3 dimensiones.

En resumen:
rotaciones 3d: una copia de los cuaterniones unitarios se relacionan con las matrices de pauli
rotaciones 4d: dos copias de cuaterniones unitarios se relacionan con 2 copias de matrices pauli

En lenguaje de grupo:
Spin(3) = SU(2) (3 dimensiones)
Spin(4) = SU(2) x SU(2) (6 dimensiones)

Dado que las dimensiones 3 y 4 son las dos más importantes para la física, esto aparece de muchas formas en la física cuántica.

Answer 4

Resumen : Las matrices de Pauli abarcan el espacio vectorial de $2\times2$ matrices hermitianas sin trazas, los cuaterniones unitarios abarcan el álgebra de Lie $2\times2$ matrices skew-Hermitianas sin trazas (de ahí el $i$ factor), siendo esta última el álgebra de Lie del grupo de Lie de las rotaciones y la cubierta universal de dicho grupo.

Como base particular para el álgebra de Lie, las relaciones definitorias de los cuaterniones unitarios se derivan (1) de que son ortonormales con respecto a la forma billineal única (hasta una constante de escala) ( es decir aquí producto interior) que es invariante bajo la acción de $SO(3)$ (esto da las relaciones de conmutador) y (2) requiriendo un $2\times2$ representación matricial del álgebra de Lie. Las matrices de Pauli son entonces estos elementos divididos por $i$ y puedes pensar en el factor $i$ como lo que se necesita para que las matrices hermitianas se cierren bajo un corchete de Lie.

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Las matrices de Pauli abarcan el espacio vectorial de traceless, $2\times 2$ Las matrices hermitianas y las unidades de cuaterniones abarcan el espacio vectorial de los traceless, inclinación -matrices hermitianas, cuando pensamos en la representación matricial fiel del espacio vectorial de las llamadas puro cuaterniones de la forma $\alpha\,\mathbf{i}+\beta\,\mathbf{j}+\gamma\,\mathbf{k}$ donde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbb{R}$ . Por lo tanto, las matrices de Pauli deben ser superposiciones lineales del escalar $i\in\mathbb{C}$ veces las unidades de cuaterniones $\mathbf{i},\, \mathbf{j},\,\mathbf{k}$ y, de hecho, están relacionados por un simple escalado mediante $i$ como has encontrado y como Respuesta de QMechanic elabora con mucho detalle.

La pregunta es entonces: ¿qué tiene que ver todo esto con la rotación y el giro?

Para responder a esto, vamos a trabajar en la otra dirección de las otras respuestas comenzando con el grupo $SO(3)$ de rotaciones y ver cómo los cuaterniones y Pauis se desprenden de la geometría.

$SO(3)$ el grupo de isometrías propias y homogéneas del espacio 3 euclidiano capta obviamente la geometría de las rotaciones. Desde este punto de partida, necesitamos los siguientes hechos de la teoría de grupos de Lie para seguir adelante:

1. $SU(2)$ es la doble cubierta, de hecho la cubierta universal de $SO(3)$ ;

2. $SO(3)$ es la imagen de $SU(2)$ bajo la representación Adjoint $\mathrm{Ad}:SU(2)\to SO(3)$ mediante $SU(2)$ actúa sobre su propia álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ por el mapa espinor. Así, $SU(2)$ actúa sobre $\mathfrak{su}(2)$ mediante rotaciones rígidas;

3. $SO(3)$ y $SU(2)$ son simple grupos de Lie, que no contienen subgrupos de Lie normales propios de dimensión 1 o superior y, por tanto $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ es un álgebra de Lie simple;

4. La forma de Killing para el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ de un grupo Lie simple $\mathfrak{G}$ es el único forma billineal, dentro de una constante de escala real, es decir $\mathrm{Ad}$ -invariante. Es decir, si $X,\,Y \in\mathfrak{g}$ y $F(X,\,Y)$ es el valor de una forma billineal definida en el álgebra de Lie, y si además $F(X,\,Y)=F(\mathrm{Ad}(\gamma)\,X, \, \mathrm{Ad}(\gamma)\,Y);\forall X,\,Y\in\mathfrak{g},\,\forall \gamma\in\mathfrak{G}$ entonces $F$ es la forma de Killing, dentro de una constante de escala real.

Así que ahora la pregunta es, ¿cuál es la base más simple para el álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)$ que exponencie a nuestro grupo de rotación y su doble cubierta?

$SU(2)$ actúa, a través de la representación Adjoint, sobre $\mathfrak{su}(2)$ mediante rotaciones rígidas, así que definamos un producto interior sobre $\mathfrak{su}(2)$ que queda invariante por la acción de grupo sobre el álgebra. Este producto interno dará entonces los ángulos correctos entre vectores en $\mathfrak{su}(2)$ ya que esto es lo que queda invariante por rotaciones.

Pero sabemos que $SU(2),\,SO(3)$ son simples, por lo que sólo hay una forma billineal que es invariante de esta manera dentro de una constante de escala: la forma de Killing.

Así que ahora, es obviamente conveniente construir una base que sea ortonormal con respecto a la forma Killing.

Con un poco de trabajo, se puede demostrar que tal base ortonormal para $\mathfrak{su}(2)$ debe cumplir $[\mathbf{i},\,\mathbf{j}]=2\,\mathbf{k}$ , $[\mathbf{k},\,\mathbf{i}]=2\,\mathbf{j}$ , $[\mathbf{j},\,\mathbf{k}]=2\,\mathbf{i}$ . Además, si utilizamos $2\times2$ matrices unitarias para representar $SU(2)$ entonces tal base ortonormal para $\mathfrak{su}(2)$ también deben cumplir las famosas relaciones del "puente de Broughham" (ecuación (1) en Respuesta de QMechanic ).

Así que ahora nuestras unidades de cuaterniones están definidas, para dentro de una transformación de similitud. Una opción obvia es la que da la relación entre el Paulis y las unidades quaternion que usted cita.

Answer 5

En $$ generan una Álgebra de Clifford como el Dirac $$ matrices. En este caso se trata del álgebra tridimensional de signatura $+{+}+$ .

En dimensiones Impares, el elemento de volumen/pseudoescalar de un álgebra de Clifford (en este caso $\mathbf{xyz}$ ou $\mathbf e_1 \mathbf e_2 \mathbf e_3$ ou $_x_y_z$ ) se desplaza con todo. Si además se cuadra a $-1$ que en esta firma lo hace, entonces puede identificarse con el complejo $i$ . Tenga en cuenta que $_x_y_z = \mathrm{diag}(i,i)$ . En $$ generan, por tanto, las matrices real sólo álgebra de Clifford, y $i$ representa el pseudoescalar de Clifford y no el separado $i$ que aparecerían en un álgebra complejizada. Esto es diferente del caso de Dirac: en 3+1 dimensiones, mientras que la pseudoescalar sigue siendo cuadrada a $-1$ es anticompatible con la parte impar del álgebra, por lo que no puede identificarse con $i$ .

La subálgebra par de cualquier álgebra de Clifford contiene una representación del grupo de espín (y el álgebra completa contiene una representación del grupo pin). En la signatura $+{+}+$ y $-{-}-$ la subálgebra par es isomorfa a los cuaterniones, y los elementos de norma $1$ representan elementos de $\mathrm{Spin}(3)$ de la misma manera que los cuaterniones unitarios.

Los cuaterniones de base pueden escribirse como productos por pares de $$ matrices o como productos de $$ matrices con el pseudoescalar. Pero ten en cuenta que no puedes tomar $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k = i_x, i_y, i_z$ porque entonces tienes $\mathbf{ijk}=+1$ lo que está bien en abstracto, pero no es lo que Hamilton eligió. Necesita $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k = -i_x, -i_y, -i_z$ en su lugar. (También podría tomar cualquier permutación impar de $i_x, i_y, i_z$ pero eso no tiene ningún sentido geométrico si estás asociando el $$ matrices y cuaterniones base con ejes de coordenadas, como debe ser).

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Puede identificar alternativamente el $$ matrices con el grupo electrógeno $\pm\mathbf{tx}, \pm\mathbf{ty}, \pm\mathbf{tz}$ del álgebra de Clifford par y real de 3+1 dimensiones, donde el signo debe elegirse de modo que $_x_y_z$ es el pseudoescalar. Dado que sólo se trata de la subálgebra par, el pseudoescalar es central como antes y puede identificarse (y se identifica) con $i$ . Los cuaterniones aparecen como la subálgebra de rotaciones en la hipersuperficie normal a $\mathbf t$ . La subálgebra de 6 dimensiones isomorfa a $\mathrm{Spin}(3,1)$ resulta ser $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)\subset \mathrm M_2(\mathbb C)$ .